Giải bài 13 trang 42 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) cho bởi công thức  (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là:

a) 15 m;

b) 9 m;

c) 10,5 m.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này yêu cầu tìm thời điểm $t$ để độ sâu mực nước $h$ đạt các giá trị cụ thể. Ta có công thức:

Để giải, chúng ta sẽ thay giá trị $h$ tương ứng vào công thức, sau đó giải phương trình lượng giác để tìm $t$.

1. Thiết lập phương trình: Thay giá trị độ sâu ($h$) vào công thức đã cho.

2. Giải phương trình lượng giác: Đưa phương trình về dạng cơ bản $\cos X = c$ và tìm nghiệm tổng quát.

3. Tìm $t$ trên khoảng đã cho: Đặt điều kiện $0\le t<24$ để tìm các giá trị $t$ cụ thể.

Lời giải chi tiết:

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì:

Do 0 ≤ t < 24 nên

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì  (giờ);

Với k = 2 thì  (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

Do 0 ≤ t < 24 nên

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì  (giờ);

Với k = 1 thì  (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: 

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì  (giờ);

Với k = 1 thì  (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có:

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì  (giờ);

Với k = 2 thì  (giờ).

Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m.