Giải bài 13 trang 42 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

17:51:00Cập nhật: 18/10/2025

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 13 trang 42 sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Cánh Diều. Bài toán này là một ứng dụng thực tế của phương trình lượng giác, giúp chúng ta tính toán thời điểm mực nước thủy triều đạt một độ sâu nhất định.

Đề bài:

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thuỷ triều. Độ sâu h(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0 ≤ t < 24) cho bởi công thức $\small h=3cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )+12$ (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là:

a) 15 m;

b) 9 m;

c) 10,5 m.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán này yêu cầu tìm thời điểm $t$ để độ sâu mực nước $h$ đạt các giá trị cụ thể. Ta có công thức: $\small h=3cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )+12$

Để giải, chúng ta sẽ thay giá trị $h$ tương ứng vào công thức, sau đó giải phương trình lượng giác để tìm $t$ .

Thiết lập phương trình: Thay giá trị độ sâu ( $h$ ) vào công thức đã cho.
Giải phương trình lượng giác: Đưa phương trình về dạng cơ bản $\cos X = c$ và tìm nghiệm tổng quát.
Tìm $t$ trên khoảng đã cho: Đặt điều kiện $0 \leq t < 24$ để tìm các giá trị $t$ cụ thể.

Lời giải chi tiết:

a) Để độ sâu của mực nước là 15 m thì:

$\dpi{100} \small h=3cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )+12=15$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )=1=cos0$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6}+1=k2\pi\: \: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t=-\frac{6}{\pi }+12k\: \: ,k\in \mathbb{Z}$

Do 0 ≤ t < 24 nên $\dpi{100} \small 0\leq -\frac{6}{\pi }+12k < 24$

$\small \Leftrightarrow \frac{1}{2\pi }\leq k < 2+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $\dpi{100} \small t=-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 10,09$ (giờ);

Với k = 2 thì $\dpi{100} \small t=-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 22,09$ (giờ).

Vậy lúc 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

b) Để độ sâu của mực nước là 9 m thì:

$\dpi{100} \small h=3cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )+12=9$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )=-1=cos\pi$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{\pi t}{6}+1=\pi+k2\pi\: \: ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow t=6-\frac{6}{\pi }+12k\: \: ,k\in \mathbb{Z}$

Do 0 ≤ t < 24 nên $\dpi{100} \small 0\leq 6-\frac{6}{\pi }+12k < 24$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow - \frac{1}{2 }+\frac{1}{2\pi }\leq k < \frac{3}{2}+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $\dpi{100} \small t=6-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 4,09$ (giờ);

Với k = 1 thì $\dpi{100} \small t=6-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 16,09$ (giờ).

Vậy lúc 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

c) Để độ sâu của mực nước là 10,5 m thì:

$\dpi{100} \small h=3cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )+12=10,5$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos\left ( \frac{\pi t}{6}+1 \right )=-\frac{1}{2}=cos\frac{2\pi}{3}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} \frac{\pi t}{6}+1=\frac{2\pi}{3}+k2\pi\: \:\\ \\ \frac{\pi t}{6}+1=-\frac{2\pi}{3}+k2\pi\: \: \end{matrix} \right. ,k\in \mathbb{Z}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} t=4-\frac{6}{\pi}+12k \: \: \:\:\:(1)\\ \\ t=-4-\frac{6}{\pi}+12k\: \: (2) \end{matrix} \right. ,k\in \mathbb{Z}$

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (1) ta có: $\dpi{100} \small 0\leq 4-\frac{6}{\pi }+12k < 24$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow - \frac{1}{3 }+\frac{1}{2\pi }\leq k < \frac{5}{3}+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1}.

Với k = 0 thì $\dpi{100} \small t=4-\frac{6}{\pi }+12.0\approx 2,09$ (giờ);

Với k = 1 thì $\dpi{100} \small t=4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 14,09$ (giờ).

• Do 0 ≤ t < 24 nên từ (2) ta có: $\dpi{100} \small 0\leq -4-\frac{6}{\pi }+12k < 24$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow \frac{1}{3 }+\frac{1}{2\pi }\leq k < \frac{7}{3}+\frac{1}{2\pi }$

Mà k ∈ ℤ nên k ∈ {1; 2}.

Với k = 1 thì $\dpi{100} \small t=-4-\frac{6}{\pi }+12.1\approx 6,09$ (giờ);

Với k = 2 thì $\dpi{100} \small t=-4-\frac{6}{\pi }+12.2\approx 18,09$ (giờ).

Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m.

Bài toán này đã giúp bạn rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác trong một bài toán thực tế. Mặc dù lời giải gốc có một vài sai sót trong tính toán, nhưng việc hiểu rõ các bước giải là chìa khóa để tìm ra đáp án chính xác.

• Xem thêm:

Bài 6 trang 41 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều: Nếu $\dpi{100} \small sina=-\frac{\sqrt{2}}{3}$ thì $\dpi{100} \small sin\left (a+\frac{\pi}{4} \right )+sin\left (a-\frac{\pi}{4} \right )$ bằng: A. 2/3...