Giải bài 4 trang 48 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n² + 2;

b) u_n = –2n + 1;

c) 

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta tiến hành phân tích sự biến thiên của số hạng $u_n$ khi $n$ tăng lên, dựa trên điều kiện $n \in \mathbb{N}^*$ ($n \ge 1$).

1. Chặn dưới: Tìm số $m$ sao cho $u_n \ge m$.

2. Chặn trên: Tìm số $M$ sao cho $u_n \le M$.

3. Bị chặn: Khi dãy số vừa bị chặn dưới, vừa bị chặn trên.

Lời giải chi tiết:

a) u_n = n² + 2

Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 ⇒ n² + 2 ≥ 3

⇒ u_n ≥ 3

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.

b) u_n = –2n + 1

Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 ⇒ u_n = –2n + 1 ≤ –1

⇒ u_n ≤ –1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi –1.

c) 

Ta có:

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra 

Lại có:  và

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.