Giải bài 6 trang 48 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của P_n tính theo n.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đặt $P_0 = 100$ (triệu đồng), số tiền gửi thêm hàng tháng $A = 6$ (triệu đồng), và lãi suất hàng tháng $r = 0,5\% = 0,005$. Đặt $q = 1 + r = 1,005$.

Công thức truy hồi của số tiền sau mỗi tháng là:

Ta sẽ lặp lại công thức này để tính $P_1, P_2, P_3$ và rút ra quy luật để dự đoán công thức tổng quát $P_n$.

Lời giải chi tiết:

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P₁ = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P₂ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6

 = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6

 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P₃ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)² + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P₄ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)³ + 6.(1 + 0,5%)³ + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P_n = 100,5.(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-2 + 6.(1 + 0,5%)^n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ^*.