Giải bài 13 trang 58 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m². Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Mô hình hóa: Gọi $u_n$ là diện tích mặt sàn tầng thứ $n$.

   • Mặt đáy tháp là tầng 1: $u_1 = 12\ 288$.

   • Diện tích tầng sau bằng $\frac{1}{2}$ diện tích tầng trước: $\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{1}{2}$.

   • Dãy số $\left(u_n\right)$ là cấp số nhân với công bội $q = \frac{1}{2}$.

2. Xác định tầng cần tính: Tháp có 11 tầng, nên mặt trên cùng là tầng 11. Ta cần tính $u_{11}$.

3. Áp dụng công thức số hạng tổng quát: $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$.

Lời giải chi tiết:

- Diện tích mặt đáy tháp là u­₁ = 12 288 (m²).

- Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u₂ = 12 288.(1/2) = 6 144 (m²).

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 12 288 và công bội q= 1/2, có số hạng tổng quát là:

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có: