Giải bài 10 trang 58 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho cấp số nhân (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) u₆ = 192 và u₇ = 384;

b) u₁ + u₂ + u₃ = 7 và u₅ – u₂ = 14.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ để thiết lập các phương trình theo $u_1$ và $q$.

• Phần a): Ta có hai số hạng liên tiếp. Công bội $q$ có thể tìm trực tiếp bằng tỉ số $\frac{u_7}{u_6}$.

• Phần b): Ta thiết lập hệ phương trình hai ẩn $u_1$ và $q$. Phương trình sẽ liên quan đến tổng và tích (dạng bậc cao) của $q$.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có u₆ = u₁.q⁵ = 192 và u₇ = u₁.q⁶ = 384

Xét: 

Suy ra: 

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 6 144 và công bội q= 1/2.

b) Ta có: u₁ + u₂ + u₃ = u₁ + u₁.q + u₁.q² = 7

⇔ u₁(1 + q + q²) = 7  (1)

Và u₅ – u₂ = u₁.q⁴ – u₁.q = 14

⇔ u₁q(q³ – 1) = 14  (2)

Lấy (1) chia (2), ta được: 

⇔ 2 = q(q – 1)

⇔ q² – q – 2 = 0

⇔ q = 2 hoặc q = –1.

Với q = 2 thì u₁ = 1.

Với q = –1 thì u₁ = 7.