Giải bài 15 trang 58 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (Hình 4).

Từ hình vuông C₂ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C₃. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, ..., C_n, ... Gọi a_n là độ dài cạnh hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là cấp số nhân.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

1. Xác định $a_1$: Độ dài cạnh hình vuông đầu tiên.

2. Thiết lập mối quan hệ truy hồi: Dựa vào quy luật chia cạnh và nối điểm chia, ta sử dụng định lí Pythagore để tìm mối quan hệ giữa $a_{n+1}$ và $a_n$.

3. Chứng minh cấp số nhân: Ta chứng minh tỉ số $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ là một hằng số $q$ không đổi.

Lời giải chi tiết:

- Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a₁ = 4.

- Độ dài cạnh của hình vuông thứ 2 là:

- Độ dài cạnh của hình vuông thứ 3 là:

- Độ dài cạnh của hình vuông thứ 4 là:

...

- Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là:

Vậy (a_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu a₁ = 4 và công bội