Giải bài 9 trang 58 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Cho cấp số cộng (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) u₂ + u₅ = 42 và u₄ + u₉ = 66;

b) u₂ + u₄ = 22 và u₁.u₅ = 21.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Ta sử dụng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 + (n-1)d$ để thiết lập các phương trình theo $u_1$ và $d$.

• Phần a): Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn $u_1$ và $d$.

• Phần b): Phương trình bậc nhất (từ tổng) và phương trình bậc hai (từ tích). Ta rút $u_1$ hoặc $d$ từ phương trình bậc nhất rồi thế vào phương trình tích.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có: u₂ + u₅ = 42

⇔ u₁ + d + u₁ + 3d = 42

⇔ 2u₁ + 4d = 42 (1)

Ta lại có: u₄ + u₉ = 66

⇔ u₁ + 3d + u₁ + 8d

⇔ 2u₁ + 11d = 66 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

Giải hệ ta được: 

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là:  và công sai 

b) Ta có: u₂ + u₄ = 22

⇔ u₁ + d + u₁ + 3d = 22

⇔ 2u₁ + 4d = 22

⇔ u₁ + 2d = 11

⇔ u₁ = 11 – 2d

Ta lại có: u₁.u₅ = u₁(u₁ + 4d) = 21.

Thay u₁ = 11 – 2d vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

⇔ (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

⇔ 121 – 4d² = 21

⇔ d = 5 hoặc d = –5.

Với d = 5 thì u₁ = 1.

Với d = –5 thì u₁ = 21.