Giải bài 1.3 trang 11 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề Bài 1.3 trang 11 Toán 10:

Cho hai câu sau:

P: "Tam giác ABC là tam giác vuông"

Q: "Tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại"

Hãy phát biểu mệnh đề tương đương P ⇔ Q và xác định tính đúng sai của mệnh đề này.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, các em cần thực hiện hai bước chính:

1. Phát biểu mệnh đề tương đương $P⟺Q$:

   • Mệnh đề tương đương $P⟺Q$ được phát biểu là "$P$ khi và chỉ khi $Q$".

   • Các em chỉ cần ghép hai câu $P$ và $Q$ lại với nhau bằng cụm từ "khi và chỉ khi".

2. Xác định tính đúng sai của mệnh đề $P⟺Q$:

   • Mệnh đề $P⟺Q$ đúng khi và chỉ khi cả hai mệnh đề kéo theo $P⟹Q$ và $Q⟹P$ đều đúng.

   • Chúng ta sẽ cần chứng minh hai chiều:

     • Chiều thuận ($P⟹Q$): Nếu tam giác ABC là tam giác vuông, chứng minh tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại.

     • Chiều đảo ($Q⟹P$): Nếu tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại, chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Lời giải chi tiết

1. Phát biểu mệnh đề tương đương $P⟺Q$

Mệnh đề tương đương $P⟺Q$ được phát biểu như sau:

"Tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại."

2. Xác định tính đúng sai của mệnh đề

Để xác định tính đúng sai của mệnh đề này, ta chứng minh cả hai chiều của mệnh đề tương đương. Gọi ba góc của tam giác ABC lần lượt là $A,B,C$. Theo định lý tổng ba góc trong tam giác, ta có A+B+C=180∘.

• Chiều thuận ($P⟹Q$):

  • Giả sử tam giác ABC là tam giác vuông tại A. Khi đó, góc A=90^∘.

  • Ta có: A+B+C=180^∘ ⟹90^∘+B+C=180^∘ ⟹B+C=90^∘.

  • Vì A=90^∘, nên $A=B+C$.

  • Vậy, tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại. Mệnh đề $P⟹Q$ là ĐÚNG.

• Chiều đảo ($Q⟹P$):

  • Giả sử tam giác ABC có một góc bằng tổng hai góc còn lại. Ví dụ, góc $A=B+C$.

  • Ta có: A+B+C=180^∘.

  • Thay $B+C$ bằng $A$, ta được: A+A=180^∘ ⟹2A=180^∘ ⟹A=90∘.

  • Vì tam giác ABC có một góc bằng 90^∘, nên tam giác đó là tam giác vuông. Mệnh đề $Q⟹P$ là ĐÚNG.

Cả hai chiều của mệnh đề tương đương đều đúng.