Giải bài 1.6 trang 11 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Bài 1.6 trang 11 Toán 10:

Xác định tính đúng sai của mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó.

Q: "∃n ∈ ℕ, n chia hết cho n + 1"

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

1. Xác định tính đúng sai của mệnh đề Q:

   • Mệnh đề $Q$ là một mệnh đề tồn tại, kí hiệu là "$\exists$". Mệnh đề này đúng nếu chúng ta có thể tìm được ít nhất một giá trị $n$ thuộc tập hợp số tự nhiên ($\mathbb{N}$) mà thỏa mãn điều kiện "n chia hết cho n+1".

   • Các em có thể thử lần lượt các số tự nhiên, bắt đầu từ 0.

2. Tìm mệnh đề phủ định của Q:

   • Mệnh đề phủ định của một mệnh đề $P$ được kí hiệu là Pˉ.

   • Để tìm mệnh đề phủ định của mệnh đề tồn tại ($\exists$), ta sẽ thay kí hiệu tồn tại bằng kí hiệu với mọi ($\forall$) và phủ định lại điều kiện.

   • Phủ định của "n chia hết cho n+1" là "n không chia hết cho n+1".

Lời giải chi tiết

1. Xác định tính đúng sai của mệnh đề Q

Mệnh đề $Q$ là: "$\exists n\in \mathbb{N}$, $n$ chia hết cho $n+1$".

• Ta cần tìm một số tự nhiên $n$ sao cho $n$ chia hết cho $n+1$.

• Xét trường hợp $n=0$ (vì 0 là số tự nhiên nhỏ nhất).

  • Khi $n=0$, ta có $n+1=0+1=1$.

  • Ta biết rằng số 0 chia hết cho mọi số nguyên khác 0. Do đó, 0 chia hết cho 1.

• Ta đã tìm được một số tự nhiên $n=0$ thỏa mãn điều kiện của mệnh đề.

• Kết luận: Mệnh đề $Q$ là ĐÚNG.

2. Tìm mệnh đề phủ định của Q

• Mệnh đề $Q$ là: "$\exists n\in \mathbb{N}$, $n$ chia hết cho $n+1$".

• Mệnh đề phủ định của $Q$ sẽ là:​: "$\forall n\in \mathbb{N}$, $n$ không chia hết cho $n+1$". (Phát biểu bằng lời: "Với mọi số tự nhiên $n$, $n$ không chia hết cho $n+1$").

Bây giờ, ta xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định ​.

• Vì mệnh đề $Q$ là đúng, nên mệnh đề phủ định ˉ​ phải là sai.

• Ta cũng có thể thấy rằng, với $n=0$, $n$ chia hết cho $n+1$. Điều này là một ví dụ phản chứng cho mệnh đề ​.

• Kết luận: Mệnh đề ​ là SAI.