Giải bài 1 trang 37 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của mỗi hệ bất phương trình sau:

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ đường thẳng: Đối với mỗi bất phương trình, ta vẽ đường thẳng tương ứng. Đường thẳng này chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng. Nếu bất phương trình không có dấu "=", ta sẽ vẽ đường thẳng bằng nét đứt.

2. Chọn điểm thử: Chọn một điểm bất kỳ không nằm trên đường thẳng vừa vẽ (thường là gốc tọa độ O(0; 0)). Thay tọa độ điểm này vào bất phương trình để kiểm tra.

3. Xác định miền nghiệm:

   • Nếu điểm thử thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó.

   • Nếu điểm thử không thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại.

   • Ta thường gạch bỏ nửa mặt phẳng không phải là miền nghiệm.

4. Kết hợp miền nghiệm: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là phần không bị gạch bỏ, là giao của tất cả các miền nghiệm của từng bất phương trình con.

Lời giải chi tiết:

a) Hệ bất phương trìnhL

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x + y - 3  ≥ 0:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d: x + y – 3 = 0, ta có: 0 + 0 – 3 = -3 < 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x + y - 3  ≥ 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₁ (kể cả đường thẳng d₁) và không chứa gốc tọa độ O(0; 0)

- Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình x ≥ 0  là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy và kể cả bờ Oy.

- Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình y ≥ 0  là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox và kể cả bờ Ox.

Vậy, miền màu trắng (không tô màu) bao gồm cả các bờ trong hình sau là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

b) Hệ bất phương trình:

- Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x - 2y < 0:

Lấy điểm A(0; 1) không thuộc đường thẳng d₁: x – 2y = 0, ta có: 0 – 2.1 = -2 < 0. Do đó miền nghiệm D₁là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng d₁ (không kể đường thẳng d₁) và chứa điểm A (0; 1).

- Xác định miền nghiệm D₂ của bất phương trình x + 3y > -2:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₂: x + 3y = - 2, ta có: 0 + 3.0 = 0 > - 2. Do đó miền nghiệm D₂ là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d₂(không kể đường thẳng d₂) và chứa gốc tọa độ O.

- Xác định miền nghiệm D₃ của bất phương trình y – x  < 3:

Lấy điểm O(0; 0) không thuộc đường thẳng d₂: x + 3y = - 2, ta có: 0 + 3.0 = 0 > - 2.

Miền nghiệm của bất phương trình y – x  < 3 là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng y – x  = 3 (không kể  bờ) và chứa gốc tọa độ O.

Vậy, miền màu trắng (không tô màu) gồm cả các bờ trong hình dưới là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Hệ bất phương trình:

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trên mặt phẳng Oxy.

- Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 1 là nửa mặt phẳng kể cả bờ x = 1 và không chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 4 là nửa mặt phẳng kể cả bờ x = 4 và chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm của bất phương trình x + y – 5 ≤ 0  là nửa mặt phẳng kể cả bờ x  + y – 5 = 0  và chứa gốc tọa độ O.

- Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0  là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox và kể cả bờ Ox.

Vậy, miền màu trắng (không tô màu) bao gồm cả các bờ trong hình dưới là phần giao các miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.