Giải bài 3 trang 38 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn trung thu tặng cho các trẻ em khuyết tật. Loại đèn hình con cá cần 2 giờ để làm xong 1 cái, còn loại đèn ông sao chỉ cần 1 giờ để làm xong 1 cái. Gọi x, y lần lượt là số đèn hình con cá và đèn ông sao bạn Lan sẽ làm.

Hãy lập hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y và biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đó.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu lập một hệ bất phương trình từ các điều kiện về thời gian làm đèn trung thu của bạn Lan.

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Lập các bất phương trình: Gọi $x$ và $y$ là số lượng đèn hình con cá và đèn ông sao. Từ các điều kiện về thời gian và số lượng, ta sẽ lập các bất phương trình tương ứng.

2. Biểu diễn miền nghiệm: Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ để xác định vùng chứa tất cả các phương án làm đèn có thể. Vùng này chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Vì x và y lần lượt là số đèn hình con cá và số đèn ông sao mà bạn Lan làm được nên hiển nhiên ta có bất phương trình x ≥ 0, y ≥ 0 và x ∈ N.

Số giờ bạn Lan cần để làm x chiếc đèn hình con cá là 2x (giờ).

Số giờ bạn Lan cần để làm y chiếc đèn ông sao là y (giờ).

Tổng số giờ cần thiết để Lan làm được x chiếc đèn con cá và y chiếc đèn ông sao là: 

2x + y (giờ).

Do bạn Lan thu xếp được không quá 10 giờ để làm hai loại đèn nên ta có bất phương trình: 2x + y ≤ 10.

Vậy ta có hệ bất phương trình mô tả điều kiện của x, y là: 

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên:

- Miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên phải trục Oy (kể cả bờ là trục Oy).

 - Miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bên trên trục Ox (kể cả bờ là trục Ox).

- Miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 10  là nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng 2x + y = 10 và chứa gốc tọa độ O(0; 0).

Ta có được hình sau:

Vậy, miền màu trắng (không tô màu) bao gồm cả các bờ là phần giao của các miền nghiệm và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình.