Giải bài 5 trang 38 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Trong một tuần, bạn Mạnh có thể thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục giảm cân bằng hai môn: đạp xe và tập cử tạ tại phòng tập. Cho biết mỗi giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350 calo và không tốn chi phí, mỗi giờ tập cử tạ sẽ tiêu hao 700 calo với chi phí 50 000 đồng/giờ. Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần.

Hãy giúp bạn Mạnh tính số giờ đạp xe và số giờ tập tạ một tuần trong hai trường hợp sau :

a) Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất.

b) Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm số giờ đạp xe và tập tạ để thỏa mãn các điều kiện cho trước, đồng thời tối ưu hóa chi phí hoặc lượng calo tiêu hao. Chúng ta có các điều kiện ràng buộc sau:

• Thời gian: Tối đa 12 giờ một tuần.

• Lượng calo: Tối đa 7000 calo một tuần.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Lập hệ bất phương trình: Gọi $x$ và $y$ là số giờ đạp xe và tập tạ. Từ các điều kiện trên, chúng ta sẽ lập các bất phương trình tương ứng.

2. Xác định miền nghiệm: Vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ để xác định vùng chứa tất cả các phương án tập luyện hợp lý.

3. Tìm biểu thức cần tối ưu: Xây dựng biểu thức tính chi phí (câu a) và lượng calo (câu b) theo $x$ và $y$.

4. Tính giá trị tại các đỉnh: Miền nghiệm là một đa giác. Chúng ta sẽ tính giá trị của các biểu thức tại các đỉnh của đa giác này. Giá trị nhỏ nhất (câu a) hoặc lớn nhất (câu b) tìm được sẽ cho chúng ta biết phương án tập luyện tối ưu.

Lời giải chi tiết:

a) Gọi x (giờ) là số giờ bạn Mạnh đạp xe, y (giờ) là số giờ bạn Mạnh tập tạ trong một tuần.

Hiển nhiên ta có x ≥ 0 và y ≥ 0.

Tổng số giờ bạn Mạnh tập thể dục trong một tuần là : x + y (giờ)

Do một tuần bạn Mạnh thu xếp được tối đa 12 giờ để tập thể dục nên ta có bất phương trình sau : x + y  ≤ 12.

Do mỗi giờ đạp xe tiêu hao 350 calo nên với x giờ đạp xe sẽ tiêu hao 350x calo.

Mỗi giờ tập tạ tiêu hao 700 calo nên với y giờ tập tạ sẽ tiêu hao 700y calo.

Tổng số calo tiêu hao là : 350x + 700y (calo).

Mặt khác, Mạnh muốn tiêu hao nhiều calo nhưng không được vượt quá 7 000 calo một tuần. Vì vậy, ta có bất phương trình : 350x + 700y ≤ 7 000, tức là : x + 2y ≤ 20.

Vậy ta có hệ bất phương trình là:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình ảnh sau :

Vậy, miền màu trắng (không tô màu, miền tứ giác OABC) bao gồm cả các cạnh là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên.

Tọa độ các đỉnh của tứ giác đó là : O(0 ;0) ; A (0; 10); B(4; 8); C(12; 0).

Gọi F là chi phí tập luyện.

Vì đạp xe không mất phí và tập tạ tốn chi phí 50 000 đồng/giờ nên với x giờ đạp xe và y giờ tập tạ thì tốn số tiền là : 0.x + 50 000y = 50 000y (đồng).

Vậy F =50 000y.

Tính các giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác, ta có :

Tại O(0 ; 0) : F = 50 000.0 = 0;

Tại A(0 ; 10) : F = 50 000.10 = 500 000;

Tại B(4 ; 8) : F = 50 000. 8 = 400 000 ;

Tại C(12 ; 0) : F = 50 000 . 0 = 0 ;

F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 tại O (0;0); C(12 ; 0).

Vậy Mạnh muốn chi phí tập luyện là ít nhất khi Mạnh không tập luyện cả hai môn thể thao trên hoặc Mạnh chỉ đạp xe 12 giờ và không tập tạ.

b) Gọi F’ là số calo tiêu hao. Khi đó F’ = 350x + 700y (calo).

Tính các giá trị của F’ tại các đỉnh của tứ giác, ta có :

Tại O(0 ; 0) : F’ = 350.0 + 700.0 = 0;

Tại A(0 ; 10) : F’ = 350.0 + 700.10 =  7 000;

Tại B(4 ; 8) : F’ = 350.4 + 700.8 =  7 000;

Tại C(12 ; 0) : F’ = 350.12 + 700.0 = 4200.

F’ đạt giá trị lớn nhất bằng 7 000 tại A(0 ; 10) và  B(4 ; 8) .

Vậy Mạnh muốn số calo tiêu hao là lớn nhất thì Mạnh sẽ chỉ tập tạ trong 10 giờ hoặc đạp xe 4 giờ và tập tạ 8 giờ.