Bài 1.18 trang 25 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.18 trang 25 Toán 12:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$

b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần xét giới hạn của hàm số tại vô cực và tại các điểm mà hàm số không xác định.

1. Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang nếu $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ (với b là hằng số).

2. Tiệm cận đứng: Đường thẳng  là tiệm cận đứng nếu $\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ hoặc $\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$. Ta thường xét giới hạn tại các nghiệm của mẫu số.

3. Tiệm cận xiên: Đường thẳng $y=ax+b$ ($a\neq 0$) là tiệm cận xiên nếu $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$. Đối với hàm phân thức, ta có thể thực hiện phép chia đa thức để tìm phương trình tiệm cận xiên.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$

Ta có:

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3-x}{2x+1}$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{3-x}{2x+1}$ $=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

Nên đường thẳng y = -1/2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$

$\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^-}y$ $=\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^- }\frac{3-x}{2x+1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^+}y$ $=\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^+ }\frac{3-x}{2x+1}=+\infty$

Nên đường thẳng x = -1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$

b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Ta có: 

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2x^2+x-1}{x+2}$$=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ x\frac{\left (2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right )}{1+\frac{2}{x}} \right ]=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x^2+x-1}{x+2}$$=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\frac{\left (2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right )}{1+\frac{2}{x}} \right ]=+\infty$

Nên đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ không có tiệm cận ngang

$\lim_{x\rightarrow -2^- }y$ $=\lim_{x\rightarrow -2^- }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow -2^+ }y$ $=\lim_{x\rightarrow -2^+ }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\infty$

Nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ 

Ta có: $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$$=2x-3+\frac{5}{x+2}$ nên

$\lim_{x\rightarrow -\infty }[y-(2x-3)]$$=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [2x-3+\frac{5}{x+2} -(2x-3) \right ]$ $=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{5}{x+2}\right )=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }[y-(2x-3)]$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [2x-3+\frac{5}{x+2} -(2x-3) \right ]$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{5}{x+2}\right )=0$

Nên y = 2x - 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$