Hotline 0936685849

Bài 1.18 trang 25 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

19:50:1521/03/2024

Chào các em! Bài viết này sẽ hướng dẫn các em giải chi tiết Bài 1.18 trang 25 SGK Toán 12 thuộc bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống tập 1. Bài toán này giúp chúng ta ôn tập cách tìm các loại tiệm cận của đồ thị hàm số, bao gồm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và tiệm cận xiên.

Đề bài:

Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$

b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số, ta cần xét giới hạn của hàm số tại vô cực và tại các điểm mà hàm số không xác định.

Tiệm cận ngang: Đường thẳng $y=b$ là tiệm cận ngang nếu $\lim_{x\to+\infty}f(x)=b$ hoặc $\lim_{x\to-\infty}f(x)=b$ (với b là hằng số).
Tiệm cận đứng: Đường thẳng $x=a$ là tiệm cận đứng nếu $\lim_{x\to a^+}f(x)=\pm\infty$ hoặc $\lim_{x\to a^-}f(x)=\pm\infty$ . Ta thường xét giới hạn tại các nghiệm của mẫu số.
Tiệm cận xiên: Đường thẳng $y=ax+b$ ( $a\neq 0$ ) là tiệm cận xiên nếu $\lim_{x\to\pm\infty}[f(x)-(ax+b)]=0$ . Đối với hàm phân thức, ta có thể thực hiện phép chia đa thức để tìm phương trình tiệm cận xiên.

Lời giải chi tiết:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$

Ta có:

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{3-x}{2x+1}=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{3-x}{2x+1}=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}$

Nên đường thẳng y = -1/2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$

$\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^-}y=\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^- }\frac{3-x}{2x+1}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^+}y=\lim_{x\rightarrow \left ( -\frac{1}{2} \right )^+ }\frac{3-x}{2x+1}=+\infty$

Nên đường thẳng x = -1/2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{3-x}{2x+1}$

b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Ta có:

$\lim_{x\rightarrow -\infty }y=\lim_{x\rightarrow -\infty }\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ $=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [ x\frac{\left (2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right )}{1+\frac{2}{x}} \right ]=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }y=\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [ x\frac{\left (2+\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2} \right )}{1+\frac{2}{x}} \right ]=+\infty$

Nên đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$ không có tiệm cận ngang

$\lim_{x\rightarrow -2^- }y=\lim_{x\rightarrow -2^- }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\infty$

$\lim_{x\rightarrow -2^+ }y=\lim_{x\rightarrow -2^+ }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\infty$

Nên x = -2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Ta có: $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$ nên

$\lim_{x\rightarrow -\infty }[y-(2x-3)]=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left [2x-3+\frac{5}{x+2} -(2x-3) \right ]$ $=\lim_{x\rightarrow -\infty }\left (\frac{5}{x+2}\right )=0$

$\lim_{x\rightarrow +\infty }[y-(2x-3)]=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left [2x-3+\frac{5}{x+2} -(2x-3) \right ]$ $=\lim_{x\rightarrow +\infty }\left (\frac{5}{x+2}\right )=0$

Nên y = 2x - 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Qua bài tập này, các em đã củng cố cách tìm các loại tiệm cận của đồ thị hàm số. Việc xét giới hạn tại vô cực và tại các điểm không xác định là chìa khóa để xác định chính xác tiệm cận đứng, ngang và xiên.

• Xem thêm:

Bài 1.16 trang 25 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Hình 1.26 là đồ thị của hàm số y = (2x²)/(x² - 1). Sử dụng đồ thị này, hãy:...

Bài 1.17 trang 25 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = (x² + 2x - 3)/(x - 1) không?...

Bài 1.19 trang 25 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là: C(x) = 2x + 50...

Bài 1.20 trang 25 Toán 12 Tập 1 Kết nối tri thức: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 144 m². Biết độ dài của một cạnh mảnh vường là x (m)....