Bài 9.39 trang 84 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh tam giác ABE cân

Bài 9.39 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.53). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.

Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE, tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.

Phân tích bài toán

Để chứng minh tam giác $ABE$ cân tại $A$, chúng ta cần sử dụng một tính chất rất quan trọng: Trong một tam giác, nếu có một đường vừa là đường phân giác vừa là đường trung tuyến thì tam giác đó là tam giác cân.

1. Đã có: $AD$ là đường phân giác của góc $\widehat{BAE}$ (theo giả thiết).

2. Cần chứng minh: $AD$ cũng là đường trung tuyến của tam giác $ABE$.

3. Mấu chốt: Chứng minh điểm $D$ nằm trên đường trung tuyến $BC$ và thỏa mãn tính chất về khoảng cách của trọng tâm.

Giải bài 9.39 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Dựa vào Hình 9.53 và các dữ kiện đề bài, ta thực hiện chứng minh như sau:

Bước 1: Chứng minh $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$

Xét tam giác $ABE$, vì $C$ là trung điểm của cạnh $AE$ nên đoạn thẳng $BC$ chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh $B$ của tam giác $ABE$.

Theo đề bài, điểm $D$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ sao cho $BD = 2DC$.

Ta có: $BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC$.

Từ đó suy ra $DC = \frac{1}{3}BC$ và $BD = \frac{2}{3}BC$.

Trong một tam giác, điểm nằm trên đường trung tuyến và cách đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đó chính là trọng tâm của tam giác.

Vì vậy, $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$.

Bước 2: Chứng minh tam giác $ABE$ cân

Vì $D$ là trọng tâm của tam giác $ABE$ nên đường thẳng đi qua đỉnh $A$ và trọng tâm $D$ phải là đường trung tuyến của tam giác đó.

Từ đó có $AD$ là đường trung tuyến của tam giác $ABE$.

Mặt khác, theo giả thiết $AD$ đã là đường phân giác của góc $\widehat{BAE}$.

Xét tam giác $ABE$ có $AD$ vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác. Theo tính chất của các đường đồng quy trong tam giác, ta kết luận tam giác $ABE$ cân tại $A$.

Tổng kết kiến thức

• Trọng tâm tam giác: Cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó.

• Tính chất tam giác cân: Một tam giác có một đường thẳng đóng vai trò của hai trong bốn loại đường (trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực) thì đó là tam giác cân.

• Phương pháp tư duy: Chuyển đổi dữ kiện định lượng ($BD = 2DC$) sang dữ kiện định tính (trọng tâm).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn tam giác: Nhiều bạn xét trọng tâm của tam giác $ABC$ thay vì tam giác $ABE$. Hãy chú ý $C$ là trung điểm $AE$ nên $BC$ mới là trung tuyến của tam giác lớn $ABE$.

• Thiếu bước lập luận trọng tâm: Chỉ nêu $BD = 2DC$ rồi suy ra $D$ là trọng tâm mà không giải thích mối liên hệ $BD = \frac{2}{3}BC$.

• Quên tính chất tam giác cân: Không nhớ rằng đường trung tuyến trùng với đường phân giác thì tam giác cân, dẫn đến việc không biết kết thúc bài toán sau khi tìm được trọng tâm.

Mẹo giải nhanh

Để nhận diện nhanh các bài toán trọng tâm có tỉ lệ $1:2$:

1. Nếu đoạn thẳng chia làm 3 phần, điểm chia cách đỉnh 2 phần $\rightarrow$ đó là trọng tâm.

2. Đường trung tuyến luôn đi qua trọng tâm.

3. Nếu một đường xuất phát từ đỉnh đi qua trọng tâm, hãy gọi tên nó là "đường trung tuyến" ngay lập tức để sử dụng các tính chất liên quan.