Bài 9.37 trang 84 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: So sánh góc và đoạn thẳng

Bài 9.37 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.52).

a) So sánh ∠ADE và ∠AED

b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng các kiến thức trọng tâm sau:

1. Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện: Trong một tam giác, đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn và ngược lại.

2. Tính chất tam giác cân: Hai góc ở đáy của tam giác cân luôn bằng nhau.

3. Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài tại một đỉnh bằng tổng hai góc trong không kề với nó.

Giải bài 9.37 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

a) So sánh $\widehat{ADE}$ và $\widehat{AED}$

Xét tam giác $ABC$, theo đề bài ta có $AB > AC$. Theo định lý về quan hệ giữa cạnh và góc đối diện, ta có góc $\widehat{ACB}$ lớn hơn góc $\widehat{ABC}$.

Mặt khác, xét tam giác $ABD$ có $AB = BD$ nên tam giác $ABD$ cân tại $B$. Từ đó, hai góc ở đáy bằng nhau là $\widehat{BAD} = \widehat{BDA}$.

Vì góc $\widehat{ABC}$ là góc ngoài tại đỉnh $B$ của tam giác $ABD$, nên ta có:

Xét tương tự với tam giác $ACE$ có $AC = CE$ nên tam giác $ACE$ cân tại $C$. Từ đó, ta có $\widehat{CAE} = \widehat{CEA}$.

Vì góc $\widehat{ACB}$ là góc ngoài tại đỉnh $C$ của tam giác $ACE$, nên ta có:

Vì góc $\widehat{ACB}$ lớn hơn góc $\widehat{ABC}$ nên ta có $2\widehat{CEA}$ lớn hơn $2\widehat{BDA}$.

Từ đó suy ra góc $\widehat{CEA}$ lớn hơn góc $\widehat{BDA}$, hay góc $\widehat{AED}$ lớn hơn góc $\widehat{ADE}$.

b) So sánh các đoạn thẳng $AD$ và $AE$

Xét tam giác $ADE$, từ kết quả chứng minh ở câu a, ta có góc $\widehat{AED}$ lớn hơn góc $\widehat{ADE}$.

Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn là cạnh lớn hơn.

• Cạnh đối diện với góc $\widehat{AED}$ là đoạn thẳng $AD$.

• Cạnh đối diện với góc $\widehat{ADE}$ là đoạn thẳng $AE$.

Vì góc $\widehat{AED}$ lớn hơn góc $\widehat{ADE}$ nên ta có $AD$ lớn hơn $AE$.

Tổng kết kiến thức

• Tính chất góc ngoài: Đây là "cầu nối" quan trọng để chuyển đổi mối liên hệ giữa các góc trong tam giác nhỏ ($ABC$) ra các góc của tam giác lớn ($ADE$).

• Mối liên hệ giữa cạnh và góc: Giúp ta chuyển từ việc so sánh góc sang so sánh độ dài đoạn thẳng một cách logic.

• Tam giác cân: Việc đề bài cho các đoạn thẳng bằng nhau ($BD=BA, CE=CA$) chính là gợi ý để sử dụng tính chất tam giác cân.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Sử dụng sai ký hiệu: Ở cấp 2, khi trình bày lời giải tự luận, các em lưu ý hạn chế dùng ký hiệu $\Rightarrow$, thay vào đó hãy dùng các từ liên kết như "nên", "từ đó suy ra", "vì vậy" để bài làm mạch lạc hơn.

• Nhầm lẫn góc ngoài: Xác định sai các góc không kề với góc ngoài dẫn đến hệ thức tính toán bị sai.

• Thiếu bước trung gian: Không giải thích tại sao $\widehat{ABC} = 2\widehat{BDA}$ mà viết luôn kết quả sẽ khiến bài làm thiếu chặt chẽ.

Mẹo giải nhanh

Để xử lý nhanh các dạng bài so sánh này:

1. Quy tắc "Gấp đôi": Khi gặp tam giác cân có góc ngoài tại đỉnh, hãy nhớ ngay góc ngoài đó gấp đôi mỗi góc ở đáy.

2. Độ dốc của hình: Hình vẽ thường cho thấy cái nhìn trực quan. Cạnh $AB$ dài hơn $AC$ thì "độ vươn" của đoạn $AD$ (tạo bởi $AB$) thường sẽ lớn hơn $AE$.

3. Tư duy logic: Muốn so sánh cạnh $\rightarrow$ hãy so sánh góc đối diện. Muốn so sánh góc $\rightarrow$ hãy tìm mối liên hệ với các góc đã biết.