Bài 9.40 trang 84 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Bài toán uốn dây thép thành tam giác cân

Bài 9.40 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Một sợi dây thép dài 1,2 m. Cần đánh dấu trên sợi dây thép đó hai điểm để khi uốn gập nó lại tại hai điểm đó sẽ tạo thành tam giác cân có một cạnh dài 30 cm (H.9.54). Em hãy mô tả các cách đánh dấu hai điểm trên sợi dây thép.

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán thực tế kết hợp giữa chu vi tam giác và bất đẳng thức tam giác.

1. Đổi đơn vị: Chu vi của tam giác (độ dài sợi dây) là $1,2$ m = $120$ cm.

2. Đặc điểm tam giác cân: Có hai cạnh bên bằng nhau. Cạnh dài $30$ cm có thể là cạnh đáy hoặc cạnh bên.

3. Điều kiện tồn tại tam giác: Tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải luôn lớn hơn cạnh còn lại.

Giải bài 9.40 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Đổi: $1,2$ m = $120$ cm. Gọi độ dài ba cạnh của tam giác cân lần lượt là $a, b, c$. Theo đề bài, tổng độ dài ba cạnh (chu vi) là $120$ cm.

Chúng ta cần xét hai trường hợp để xác định vị trí các điểm cần đánh dấu:

Trường hợp 1: Cạnh dài $30$ cm là cạnh đáy

• Gọi độ dài cạnh đáy là $c = 30$ cm.

• Vì tam giác cân nên hai cạnh bên bằng nhau, gọi độ dài mỗi cạnh bên là $a$.

• Ta có tổng độ dài các cạnh là: $a + a + 30 = 120$ cm.

• Suy ra $2a = 120 - 30 = 90$ cm, dẫn đến $a = 45$ cm.

• Kiểm tra điều kiện: Ta thấy $45 + 45 = 90 > 30$ và $45 + 30 = 75 > 45$. Bộ ba số ($45, 45, 30$) thỏa mãn bất đẳng thức tam giác.

• Cách đánh dấu: Đánh dấu hai điểm trên sợi dây sao cho chia sợi dây thành ba đoạn có độ dài lần lượt là $45$ cm, $30$ cm và $45$ cm.

Trường hợp 2: Cạnh dài $30$ cm là cạnh bên

• Gọi độ dài mỗi cạnh bên là $a = 30$ cm. Hai cạnh bên sẽ là $30$ cm và $30$ cm.

• Gọi độ dài cạnh đáy là $c$.

• Ta có tổng độ dài các cạnh là: $30 + 30 + c = 120$ cm.

• Suy ra $60 + c = 120$, dẫn đến $c = 60$ cm.

• Kiểm tra điều kiện: Ta thấy $30 + 30 = 60$. Theo bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh phải lớn hơn cạnh còn lại. Ở đây tổng hai cạnh bên bằng đúng cạnh đáy, do đó ba đoạn thẳng này không thể tạo thành một tam giác (ba điểm sẽ thẳng hàng).

• Kết luận: Trường hợp này không thể xảy ra.

Kết luận cuối cùng

Chỉ có duy nhất một cách đánh dấu: Chia sợi dây thành ba đoạn có độ dài là $45$ cm, $30$ cm và $45$ cm. Khi đó, hai điểm đánh dấu sẽ cách hai đầu sợi dây lần lượt là $45$ cm.

Tổng kết kiến thức

• Chu vi tam giác: Bằng tổng độ dài ba cạnh. Trong bài này, chu vi chính là chiều dài sợi dây.

• Bất đẳng thức tam giác: Là công cụ bắt buộc phải dùng để kiểm tra xem một bộ ba đoạn thẳng có thể tạo thành tam giác hay không.

• Tính chất tam giác cân: Giúp giảm bớt ẩn số khi biết trước một cạnh.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Quên đổi đơn vị: Tính toán trực tiếp với $1,2$ m và $30$ cm mà không đổi về cùng một đơn vị (cm hoặc m) dẫn đến kết quả sai hoàn toàn.

• Không kiểm tra điều kiện tam giác: Tìm ra cạnh $60$ cm ở trường hợp 2 nhưng không kiểm tra lại với bất đẳng thức tam giác, dẫn đến kết luận có 2 cách làm là sai.

• Nhầm lẫn giữa cạnh bên và cạnh đáy: Chỉ xét một trường hợp duy nhất mà không bao quát hết các khả năng của đề bài.

Mẹo giải nhanh

Để kiểm tra nhanh một tam giác cân có tồn tại hay không khi biết chu vi $P$ và một cạnh $x$:

1. Nếu $x$ là cạnh bên: Cạnh đáy sẽ là $P - 2x$. Điều kiện là $2x > P - 2x$ (hay $4x > P$).

2. Nếu $x$ là cạnh đáy: Cạnh bên sẽ là $(P - x)/2$. Điều kiện là $2 \times [(P - x)/2] > x$ (hay $P > 2x$).

   Trong bài này:

• Với $x=30, P=120$: Nếu là cạnh bên thì $4 \times 30 = 120$, không lớn hơn $120$ (Loại). Nếu là cạnh đáy thì $120 > 2 \times 30 = 60$ (Thỏa mãn).