Bài 9.36 trang 84 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh độ dài đoạn thẳng

Bài 9.36 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Cho tam giác ABC có ∠BAC là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B; lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.51). Chứng minh DE < BC.

Phân tích bài toán

Để chứng minh $DE < BC$, chúng ta không thể so sánh trực tiếp hai đoạn thẳng này vì chúng thuộc các tam giác khác nhau. Thay vào đó, ta sẽ sử dụng một "đoạn thẳng trung gian" là $BE$ và vận dụng các kiến thức:

1. Tính chất góc ngoài của tam giác: Góc ngoài luôn lớn hơn góc trong không kề với nó.

2. Quan hệ giữa cạnh và góc đối diện: Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc tù luôn là cạnh lớn nhất.

Giải bài 9.36 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Nối $B$ với $E$. Ta sẽ thực hiện chứng minh qua hai bước trung gian:

Bước 1: Chứng minh $DE < BE$

Xét tam giác $ADE$, ta có $\widehat{BDE}$ là góc ngoài tại đỉnh $D$.

• Theo tính chất góc ngoài: $\widehat{BDE} = \widehat{DAE} + \widehat{AED}$.

• Vì $\widehat{DAE}$ (hay $\widehat{BAC}$) là góc tù nên $\widehat{BDE}$ chắc chắn là một góc tù ($> 90^\circ$).

  Xét tam giác $BDE$ có $\widehat{BDE}$ là góc tù, suy ra đây là góc lớn nhất trong tam giác này.

  Cạnh đối diện với góc $\widehat{BDE}$ là $BE$.

  $$\Rightarrow BE > DE \quad (1)$$

Bước 2: Chứng minh $BE < BC$

Xét tam giác $ABE$, ta có $\widehat{BEC}$ là góc ngoài tại đỉnh $E$.

• Theo tính chất góc ngoài: $\widehat{BEC} = \widehat{BAE} + \widehat{ABE}$.

• Vì $\widehat{BAE}$ (hay $\widehat{BAC}$) là góc tù nên $\widehat{BEC}$ cũng là một góc tù.

  Xét tam giác $BEC$ có $\widehat{BEC}$ là góc tù, suy ra $\widehat{BEC}$ là góc lớn nhất trong tam giác $BEC$.

  Cạnh đối diện với góc $\widehat{BEC}$ là $BC$.

  $$\Rightarrow BC > BE \quad (2)$$

Bước 3: Kết luận

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có dãy bất đẳng thức: $DE < BE < BC$.

Vậy $DE < BC$ (Điều phải chứng minh).

Tổng kết kiến thức

• Kỹ thuật nối điểm: Việc nối thêm đoạn thẳng $BE$ là chìa khóa để tạo ra các tam giác trung gian có chung cạnh.

• Góc ngoài tam giác tù: Nếu một tam giác có góc tù, thì bất kỳ góc ngoài nào không kề với góc tù đó cũng sẽ là góc tù.

• Tính chất bắc cầu: Một phương pháp quan trọng để so sánh các đối tượng gián tiếp trong hình học.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không chứng minh tính chất tù: Thừa nhận luôn $\widehat{BDE}$ và $\widehat{BEC}$ là góc tù mà không giải thích dựa trên góc ngoài và góc tù $\widehat{A}$ ban đầu.

• Nhầm lẫn các tam giác: Khi xét góc ngoài của tam giác này nhưng lại áp dụng quan hệ cạnh - góc vào nhầm tam giác khác.

• Thiếu hình vẽ phụ: Không nối $BE$ dẫn đến việc không có cơ sở để thiết lập các bước so sánh.

Mẹo giải nhanh

Đối với các bài toán chứng minh đoạn thẳng nằm "bên trong" một tam giác tù nhỏ hơn cạnh đối diện góc tù:

1. Nguyên tắc "Tịnh tiến": Hãy coi $DE$ là một phiên bản nhỏ hơn của $BC$.

2. Sử dụng góc tù: Luôn bám sát dữ kiện góc $\widehat{A}$ tù. Bất cứ tam giác nào chứa góc tù này (hoặc góc ngoài của nó) đều sẽ có cạnh đối diện là lớn nhất.

3. Sơ đồ tư duy: $DE \rightarrow BE \rightarrow BC$. Cứ mỗi bước nối thêm một đỉnh, đoạn thẳng sẽ dài ra.