Bài 9.31 trang 83 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.31 Trang 83 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Chứng minh rằng tam giác có đường trung tuyến và đường cao xuất phát từ cùng một đỉnh trùng nhau là một tam giác cân.

Phân tích và Hướng dẫn giải

• Giả thiết: Xét $\Delta ABC$, gọi $AM$ là đường trung tuyến đồng thời là đường cao xuất phát từ đỉnh $A$.

  • $AM$ là trung tuyến $\Rightarrow M$ là trung điểm của $BC$ ($BM = MC$).

  • $AM$ là đường cao $\Rightarrow AM \perp BC$ ($\widehat{AMB} = \widehat{AMC} = 90^\circ$).

• Kết luận: Chứng minh $\Delta ABC$ cân tại $A$.

• Hướng giải: Cách nhanh nhất là chứng minh hai tam giác vuông $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$ bằng nhau theo trường hợp hai cạnh góc vuông.

Giải bài 9.31 Trang 83 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ta có hình minh họa như sau:

Giả sử tam giác ABC có AM vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao xuất phát từ đỉnh A.

Vì AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

⇒ BM = CM.

Xét ∆ABM vuông tại M và ∆ACM vuông tại M có:

AM chung.

BM = CM (chứng minh trên).

⇒ ∆ABM = ∆ACM (2 cạnh góc vuông).

⇒ AB = AC (2 cạnh tương ứng).

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.