Bài 9.38 trang 84 Toán 7 Tập 2 Kết nối tri thức: Bất đẳng thức đường cao và đường trung tuyến

Bài 9.38 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) AI < $\frac{1}{2}$(AB + AC);

b) AM < $\frac{1}{2}$(AB + AC).

Phân tích bài toán

Bài toán yêu cầu chúng ta so sánh độ dài của các đường đặc biệt trong tam giác (đường cao, đường trung tuyến) với nửa tổng hai cạnh kề.

• Ở câu a: Chúng ta sử dụng quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên. Đường vuông góc luôn là đường ngắn nhất.

• Ở câu b: Đây là một dạng toán quen thuộc. Để so sánh đường trung tuyến, phương pháp phổ biến nhất là vẽ thêm hình phụ (lấy điểm đối xứng) để tạo thành tam giác mới và áp dụng bất đẳng thức tam giác.

Giải bài 9.38 Trang 84 Toán 7 Kết nối tri thức Tập 2: 

Ta có hình minh họa như sau:

a) Chứng minh $AI < \frac{1}{2}(AB + AC)$

Xét các tam giác vuông được tạo bởi đường cao $AI$:

• Trong tam giác vuông $AIB$ tại $I$, cạnh $AB$ là cạnh huyền. Theo tính chất tam giác vuông, cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông, nên ta có: $AB > AI$ (1).

• Trong tam giác vuông $AIC$ tại $I$, cạnh $AC$ là cạnh huyền. Tương tự, ta có: $AC > AI$ (2).

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

Từ đó suy ra: $AI < \frac{1}{2}(AB + AC)$ (Điều phải chứng minh).

b) Chứng minh $AM < \frac{1}{2}(AB + AC)$

Để chứng minh câu này, ta sử dụng phương pháp vẽ thêm hình phụ. Trên tia đối của tia $MA$, lấy điểm $N$ sao cho $MN = MA$.

1. Chứng minh hai tam giác bằng nhau:

   Xét $\Delta NBM$ và $\Delta ACM$ có:

• $BM = CM$ (vì $AM$ là đường trung tuyến của $\Delta ABC$).

• $\widehat{NMB} = \widehat{AMC}$ (hai góc đối đỉnh).

• $MN = MA$ (theo cách vẽ).

  Do đó, $\Delta NBM = \Delta ACM$ (cạnh - góc - cạnh).

  Từ đó suy ra: $BN = AC$ (hai cạnh tương ứng).

2. Áp dụng bất đẳng thức tam giác:

   Xét tam giác $ABN$, theo bất đẳng thức tam giác, tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh còn lại:

   $$AB + BN > AN$$

   Vì $BN = AC$ (chứng minh trên) và $AN = 2AM$ (vì $M$ là trung điểm $AN$), nên ta có:

   $$AB + AC > 2AM$$

   Từ đó suy ra: $AM < \frac{1}{2}(AB + AC)$ (Điều phải chứng minh).

Tổng kết kiến thức

• Đường vuông góc: Trong các đường kẻ từ một điểm đến một đường thẳng, đường vuông góc là đường ngắn nhất.

• Đường trung tuyến: Để giải các bài toán định lượng liên quan đến đường trung tuyến, hãy nhớ mẹo "gấp đôi đường trung tuyến" để tạo ra các cặp tam giác bằng nhau và đưa các đoạn thẳng về cùng một tam giác.

• Bất đẳng thức tam giác: Là công cụ mạnh nhất để chứng minh các quan hệ về độ dài.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không đặt điều kiện tam giác vuông: Khi giải câu a, nếu không khẳng định tam giác vuông thì không thể suy ra cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông.

• Lúng túng khi vẽ hình phụ: Nhiều bạn không biết cách lấy điểm đối xứng $N$ dẫn đến việc không tìm được mối liên hệ giữa $AM$ và các cạnh $AB, AC$.

• Nhầm lẫn ký hiệu: Chú ý phân biệt giữa điểm $I$ (chân đường cao) và điểm $M$ (trung điểm cạnh đáy).

Mẹo giải nhanh

1. Câu a: Nhớ quy luật "Đường vuông góc < Đường xiên". Vì $AI$ là đường vuông góc, còn $AB, AC$ là đường xiên, nên $AI$ luôn nhỏ hơn trung bình cộng của chúng.

2. Câu b: Cứ thấy trung tuyến $AM$ mà cần so sánh với $AB, AC$, hãy nghĩ ngay đến việc kéo dài $AM$ thêm một đoạn bằng chính nó. Đây là kỹ thuật "vàng" trong hình học lớp 7.