Giải bài 3.16 trang 44 Toán 10 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài 3.16 trang 44 Toán 10:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$

b) MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.cos$\widehat{AMB}$ và MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.$cos\widehat{AMC}$

c) $MA^2=\frac{2(AB^2+AC^2)-BC^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để chứng minh các hệ thức này, chúng ta sẽ áp dụng các định lý và tính chất cơ bản của tam giác và đường trung tuyến.

• Phần a: Góc $\widehat{AMB}$ và $\widehat{AMC}$ là hai góc kề bù (tổng bằng 180∘). Ta sẽ sử dụng tính chất của hai góc bù nhau: cos(180^∘−α)=−cosα.

• Phần b: Đây là dạng biến đổi của định lý cosin. Ta sẽ áp dụng định lý này cho hai tam giác $\Delta AMB$ và $\Delta AMC$.

• Phần c: Đây là công thức đường trung tuyến, một công thức rất quan trọng. Ta sẽ chứng minh nó bằng cách cộng hai hệ thức đã chứng minh ở phần b) và sử dụng kết quả từ phần a).

Lời giải bài 3.16 trang 44 Toán 10:

Ta có hình minh hoạ như sau:

a) $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$

Ta có: $ \widehat{AMB}+\widehat{AMC}=180^0$

$\Rightarrow \widehat{AMC}=180^0-\widehat{AMB}$

$\Rightarrow cos\widehat{AMC}$ $=cos(180^0-\widehat{AMB})$ $=-cos\widehat{AMB}$

$\Rightarrow cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}$ $=cos\widehat{AMB}-cos\widehat{AMB}=0$

b) Xét ΔAMB, ta có:

AB² = MA² + MB² – 2MA.MB.$cos\widehat{AMB}$

⇔ MA² + MB² – AB² = 2MA.MB.$cos\widehat{AMB}$  (*)

Xét ΔAMC, ta có:

AC² = MA² + MC² – 2MA.MC.$cos\widehat{AMC}$

⇔ MA² + MC² – AC² = 2MA.MC.$cos\widehat{AMC}$  (**)

c) Cộng vế với vế của (*) với (**), ta được:

MA² + MB² – AB² + MA² + MC² – AC² = 2MA.MB.$ cos\widehat{AMB}$ + 2MA.MC.$cos\widehat{AMC}$

$\Leftrightarrow 2MA^2+\frac{BC^2}{4}-AB^2+\frac{BC^2}{4}-AC^2$$=2MA.\frac{BC}{2}.cos\widehat{AMB}+2MA.\frac{BC}{2}.cos\widehat{AMC}$

(Vì $MB=MC=\frac{BC}{2}$)

$ \Leftrightarrow 2MA^2+\frac{BC^2}{2}-AB^2-AC^2$$=2MA.\frac{BC}{2}.\left (cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC} \right )$

$ \Leftrightarrow 2MA^2+\frac{BC^2}{2}-AB^2-AC^2=0$ (Vì $cos\widehat{AMB}+cos\widehat{AMC}=0$)

$ \Leftrightarrow 2MA^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{2}$

$\Leftrightarrow MA^2=\frac{2AB^2+2AC^2-BC^2}{4}$(công thức đường trung tuyến).