Giải bài 2.27 trang 46 Toán 8 Tập 1 SGK Kết nối tri thức

Đề bài:

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x³ + y³ + x + y;

b) x³ – y³ + x – y;

c) (x – y)³ + (x + y)³;

d) x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + y² – x².

Phân Tích và Hướng Dẫn Giải:

Để phân tích các đa thức này thành nhân tử, chúng ta sẽ áp dụng kết hợp các phương pháp sau:

1. Nhóm các số hạng: Phân các số hạng của đa thức thành các nhóm sao cho mỗi nhóm có thể đặt được nhân tử chung hoặc có dạng của một hằng đẳng thức.

2. Sử dụng hằng đẳng thức: Áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là:

   • Tổng hai lập phương: $A^3 + B^3 = (A + B)(A^2 - AB + B^2)$.

   • Hiệu hai lập phương: $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$.

   • Lập phương của một hiệu/tổng: $(A-B)^3 = A^3 - 3A^2B + 3AB^2 - B^3 và (A+B)^3 = A^3 + 3A^2B + 3AB^2 + B^3$.

   • Hiệu hai bình phương: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

3. Đặt nhân tử chung: Sau khi xử lý các nhóm, có thể xuất hiện một nhân tử chung mới, ta sẽ đặt nó ra ngoài để hoàn thành việc phân tích.

Lời giải chi tiết:

a) x³ + y³ + x + y = (x³ + y³) + (x + y)

= (x + y)(x² – xy + y²) + (x + y)

= (x + y)(x² – xy + y² + 1)

b) x³ – y³ + x – y = (x³ – y³) + (x – y)

= (x – y)(x² + xy + y²) + (x – y)

= (x – y)(x² + xy + y² + 1)

c) (x – y)³ + (x + y)³

= [(x – y) + (x + y)] [(x – y)² – (x – y)(x + y) + (x + y)²]

= (x – y + x + y) [(x – y)² – (x² – y²) + (x + y)²]

= 2x(x² – 2xy + y² – x² + y² + x² + 2xy + y²)

= 2x(x² + 3y²)

d) x³ – 3x²y + 3xy² – y³ + y² – x²

= (x³ – 3x²y + 3xy² – y³) – (x² – y²)

= (x – y)³ – (x – y)(x + y)

= (x – y) [(x – y)² – (x + y)]

= (x – y) (x² – 2xy + y² – x – y).