Bài 1.5 trang 13 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.5 trang 13 Toán 12:

Giả sử số dân của một thị trấn sau t năm kể từ năm 2000 được mô tả bởi hàm số:

$N(t)=\frac{25t+10}{t+5},\: t\geq 0$

Trong đó, N(t) được tính bằng nghìn người.

a) Tính số dân của thị trấn đó vào các năm 2000 và 2015.

b) Tính đạo hàm N’(t) và . Từ đó giải thích tại sao dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua một ngưỡng nào đó.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán này có hai yêu cầu chính:

1. Tính toán giá trị hàm số: Các em chỉ cần xác định giá trị của $t$ tương ứng với năm cần tính, sau đó thay vào hàm số $N(t)$ để tìm số dân.

   • Năm 2000 ứng với $t=0$.

   • Năm 2015 ứng với $t=15$.

2. Phân tích sự biến đổi của hàm số:

   • Tính đạo hàm N′(t): Sử dụng công thức đạo hàm của hàm phân thức để xét sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số.

   • Tính giới hạn $\lim_{t\to+\infty}N(t)$: Tính giới hạn của hàm số khi $t$ tiến tới vô cực để tìm ra ngưỡng giới hạn của dân số.

Lời giải Bài 1.5 trang 13 Toán 12:

a) Dân số của thị trấn đó vào năm 2000 là: 

$N(0)=\frac{25.0+20}{0+5}=\frac{10}{5}=2$ (nghìn người)

Dân số của thị trấn đó vào năm 2015 là: 

$N(15)=\frac{25.15+20}{15+5}=19,25$ (nghìn người)

b) Ta có: 

$\lim_{t\rightarrow +\infty }N(t)=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{25t+10}{t+5}$ $=\lim_{t\rightarrow +\infty }\frac{25+\frac{10}{t}}{1+\frac{5}{t}}=25$

Vì $\lim_{t\rightarrow +\infty }N(t)=25$ và  nên dân số của thị trấn đó luôn tăng nhưng sẽ không vượt qua ngưỡng 25 nghìn người.