Bài 1.9 trang 14 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài:

Giả sử doanh số (tính bằng số sản phẩm) của một sản phẩm mới (trong vòng một số năm nhất định) tuân theo quy luật logistic được mô hình hóa bằng hàm số:

, t ≥ 0.

trong đó thời gian t được tính bằng năm, kể từ khi phát hành sản phẩm mới. Khi đó, đạo hàm f’(t) sẽ biểu thị tốc độ bán hàng. Hỏi sau khi phát hành bao nhiêu năm thì tốc độ bán hàng là lớn nhất?

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán yêu cầu tìm thời điểm ($t$) để tốc độ bán hàng (f′(t)) đạt giá trị lớn nhất. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm số f′(t).

Để tìm giá trị lớn nhất của một hàm số, ta sẽ sử dụng đạo hàm bậc hai:

1. Tính đạo hàm bậc nhất f′(t): Đây là hàm biểu thị tốc độ bán hàng.

2. Tính đạo hàm bậc hai f′′(t): Đạo hàm bậc hai sẽ giúp chúng ta xác định các điểm mà tại đó đạo hàm bậc nhất (f′(t)) có thể đạt cực trị.

3. Tìm nghiệm của f′′(t)=0: Giải phương trình f′′(t)=0 để tìm các giá trị $t$ tiềm năng.

4. Lập bảng biến thiên của f′(t): Dựa vào nghiệm của f′′(t) để xét dấu của nó và từ đó suy ra sự biến thiên của f′(t). Điểm mà f′(t) đạt giá trị lớn nhất sẽ là điểm mà f′′(t) đổi dấu từ dương sang âm.

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

Tốc độ bán hàng là lớn nhất khi f'(t) lớn nhất.

Đặt

(Vận dung công thức tính đạo hàm: )

Lập bảng biến thiên t ∈ [0; +∞)

Vậy sau khi phát hành khoảng ln5 ≈ 1,6 năm thì thì tốc độ bán hàng là lớn nhất.