Bài 1.3 trang 13 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề Bài 1.3 trang 13 Toán 12:

Tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để xét sự đồng biến, nghịch biến (hay tính đơn điệu) của một hàm số, các em cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm tập xác định: Xác định tập xác định của hàm số.

2. Tính đạo hàm: Tính đạo hàm y′ của hàm số.

3. Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình y′=0 hoặc tìm các điểm mà tại đó y′ không xác định.

4. Lập bảng biến thiên: Dùng các điểm vừa tìm được để lập bảng biến thiên. Bảng này sẽ giúp các em xét dấu của y′ và từ đó suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

   • Hàm số đồng biến khi y′>0.

   • Hàm số nghịch biến khi y′<0.

Lời giải Bài 1.3 trang 13 Toán 12:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$

TXĐ: D = R\{2}

$y'=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{(x+2)^2}$ $=\frac{5}{(x+2)^2}>0,\forall x\in D$

Nên hàm số: $y=\frac{2x-1}{x+2}$ đồng biến trên (-∞; -2) và (-2; +∞)

b) $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$

TXĐ: D = R\{3}

$y'=\frac{(2x+1)(x-3)-(x^2+x+4)}{(x-3)^2}$$=\frac{x^2-6x-7}{(x-3)^2}$

$y'=0\Leftrightarrow \frac{x^2-6x-7}{(x-3)^2}=0$ $\Leftrightarrow \left \[\begin{matrix} x=7\\ x=-1 \end{matrix} \right.$ (thỏa)

Ta lập bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy:

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ đồng biến trên khoảng (-∞; -1) và (7; +∞)

Hàm số $y=\frac{x^2+x+4}{x-3}$ nghịch biến trên khoảng (-1; 3) và (3; 7)