Giải bài 7 trang 31 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ống đựng nước cách mặt nước 2m

Bài toán mở đầu:

Guồng nước (hay còn gọi là cọn nước) không chỉ là công cụ phục vụ sản xuất nông nghiệp, mà đã trở thành hình ảnh quen thuộc của bản làng và là một nét văn hoá đặc trưng của đồng bào dân tộc miền núi phía Bắc.

Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5 m; trục của nó đặt cách mặt nước 2 m. Khi guồng quay đều, khoảng cách h (m) từ một ống đựng nước gắn tại một điểm của guồng đến mặt nước được tính theo công thức h = |y|, trong đó , với x (phút) là thời gian quay của guồng (x ≥ 0).

(Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020).

Khoảng cách h phụ thuộc vào thời gian quay x như thế nào?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Theo đề bài, khoảng cách $h$ từ ống nước đến mặt nước là $h = |y|$, với $y = 2,5 \sin(2\pi x - \frac{\pi}{2}) + 2$.

1. Thiết lập phương trình: Đặt h=2, ta có ∣y∣=2.

   $|2,5 \sin\left(2\pi x - \frac{\pi}{2}\right) + 2| = 2$

2. Rút gọn biểu thức lượng giác: Sử dụng công thức $\sin\left(\alpha - \frac{\pi}{2}\right) = -\cos \alpha$ để đơn giản hóa $y$.

3. Giải phương trình: Tìm giá trị $\cos(2\pi x)$ và sau đó tìm nghiệm $x$ dưới dạng tổng quát.

4. Chỉ ra các giá trị $x$: Chọn $k \in \mathbb{Z}, x \ge 0$ để liệt kê các thời điểm cụ thể.

Lời giải chi tiết:

Ta có phương trình li độ:

Áp dụng công thức lượng giác $sin(α−\frac{π}{2}​)=−cosα$, ta có:

Để ống đựng nước cách mặt nước 2 m, ta cần giải phương trình:

Ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: −2,5cos(2πx)+2=2

Trường hợp 2: −2,5cos(2πx)+2=−2

Ta xét hai trường hợp trên:

• Với $cos(2πx)=\frac{8}{5}$​:

  Do ta luôn có −1≤cosα≤1 với mọi α, nên $cos(2πx)=8/5​≈1,6$ (Vô lí).

   Ta loại trường hợp $\cos(2\pi x) = \frac{8}{5} > 1.$

• Với cos(2πx)=0:

  Ta đã biết cosα=0 tại những giá trị $α=\frac{π}{2}​+kπ(k∈Z)$.

  $\text{Suy ra: } \cos(2\pi x) = 0 \Leftrightarrow 2\pi x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$

  Chia cả hai vế cho 2π:

  $x = \frac{\frac{\pi}{2} + k\pi}{2\pi} = \frac{1}{4} + \frac{k}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$

Vì $x$ là thời gian nên $x \ge 0$. Ta xét các giá trị $k$ nguyên không âm ($k \ge 0$):

• Khi $k = 0$: $x = \frac{1}{4}$ (phút);

• Khi $k = 1$: $x = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4}$ (phút);

• Khi $k = 2$: $x = \frac{1}{4} + 1 = \frac{9}{4}$ (phút);

• Khi $k=3$: $x = \frac{1}{4} + \frac{3}{2} = \frac{7}{4}$ (phút);

  …