Giải bài 6 trang 31 Toán 11 tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt + φ), trong đó t là thời gian tính bằng giây, A là biên độ dao động và x là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì T của dao động là . Xác định giá trị của li độ khi t = 0,, ,   t = T và vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong trường hợp:

a) A = 3 cm, φ = 0;

b) A = 3 cm, φ = -π/2;

c) A = 3 cm, φ = π/2.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán gồm hai phần chính:

1. Xác định li độ $x$: Thay các giá trị thời gian $t = 0, t = \frac{T}{4}, t = \frac{T}{2}, t = \frac{3T}{4}, t = T$ vào phương trình li độ $x = A \cos\left(\frac{2\pi}{T}t + \varphi\right)$.

2. Vẽ đồ thị li độ $x$ theo thời gian $t$: Vẽ đồ thị hàm số $x(t)$ trên đoạn $[0; 2T]$ cho ba trường hợp pha ban đầu ($\varphi = 0, \varphi = -\frac{\pi}{2}, \varphi = \frac{\pi}{2}$), với biên độ $A=3$. Do hàm số tuần hoàn với chu kì $T$, ta chỉ cần xác định hình dạng đồ thị trong một chu kì $[0; T]$ rồi lặp lại.

Lời giải chi tiết:

Từ  ta có

Khi đó ta có phương trình li độ là  (*)

a) A = 3 cm, φ = 0 thay vào phương trình li độ (*) ta có: 

• Với t = 0 thì x = 3cos0 = 3

• Với  thì 

• Với  thì

• Với  thì

• Với t = T thì

• Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà  trên đoạn [0; 2T]:

+ Xét hàm số  có chu kì là T.

+ Ta lập bảng giá trị hàm số  trên đoạn [0; T] như sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số  trên đoạn [0; T] theo phương Ot (song song Ot) sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số  trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà  trên đoạn [0; 2T] như sau:

b) A = 3 cm, φ = -π/2 thay vào phương trình li độ (*) ta có:

• Với t = 0 thì x = 3sin0 = 0

• Với  thì

• Với  thì

• Với  thì

• Với t = T thì

• Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà  trên đoạn [0; 2T]:

+ Xét hàm số  có chu kì là T

+ Ta lập bảng giá trị hàm số  trên đoạn [0; T] như sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số  trên đoạn [0; T] theo phương Ot (song song Ot) sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm sô  trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà  trên đoạn [0; 2T] như sau:

c) A = 3 cm, φ = π/2 thay vào phương trình li độ (*) ta có:

• Với t = 0 thì x = -3sin0 = 0

• Với  thì

• Với  thì

• Với  thì

• Với t = T thì

• Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà  trên đoạn [0; 2T]:

+ Đồ thị hàm số là hình đối xứng với đồ thị hàm số  qua trục hoành (Ot) như sau: