Hotline 0936685849

Giải bài 5 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

10:10:5730/03/2023

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 5 trang 24 trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về công thức hạ bậc và công thức nhân đôi trong lượng giác để tính giá trị của một góc khi biết giá trị của góc nhân đôi.

Đề bài:

Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:

a) $\small cos2\alpha =\frac{2}{5}$ và $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$

b) $\dpi{100} \small sin2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức sau:

Công thức hạ bậc:
- $\sin^2\alpha=\frac{1-\cos 2\alpha}{2}$
- $\cos^2\alpha=\frac{1+\cos 2\alpha}{2}$
Công thức cơ bản: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
Xác định dấu: Dựa vào khoảng của góc $\alpha$ để xác định dấu của $$\sin\alpha,\cos\alpha,\tan\alpha,\cot\alpha$.$

Chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các công thức này để giải từng câu.

Lời giải chi tiết:

a) $\small cos2\alpha =\frac{2}{5}$ và $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$

Ta có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =2cos^2\alpha -1=\frac{2}{5}$

$\small \Leftrightarrow cos^2\alpha =\frac{7}{10}\Leftrightarrow cos\alpha =\pm \sqrt{\frac{7}{10}}=\pm \frac{\sqrt{70}}{10}$

$\small \Rightarrow cos\alpha =\frac{\sqrt{70}}{10}$ (vì $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$ nên chỉ nhận cosα > 0)

Mặt khác, ta có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =1-2sin^2\alpha =\frac{2}{5}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow sin^2\alpha =\frac{3}{10}\Leftrightarrow sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{3}{10}}=\pm \frac{\sqrt{30}}{10}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow sin\alpha =-\frac{\sqrt{30}}{10}$ (vì $\small -\frac{\pi }{2}< \alpha < 0$ nên chỉ nhận sinα < 0)

Khi đó, ta có:

$\small tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\frac{-\sqrt{30}}{10}}{\frac{\sqrt{70}}{10}}=\frac{-\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

$\small cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\frac{-\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$

b) $\dpi{100} \small sin2\alpha =-\frac{4}{9}$ và $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$

Vì $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}\Rightarrow \pi< 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$

Vì sin²2α + cos²2α = 1

$\dpi{100} \small cos2\alpha =\pm \sqrt{1-sin^22\alpha }=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{-4}{9} \right )^2}$ $\dpi{100} \small =\pm \sqrt{\frac{81-16}{9^2}}=\pm \frac{\sqrt{65}}{9}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cos2\alpha =-\frac{\sqrt{65}}{9}$ (vì $\small \pi< 2\alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên chỉ nhận cos2α < 0)

Ta có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =2cos^2\alpha -1=\frac{-\sqrt{65}}{9}$

$\dpi{100} \small \Leftrightarrow cos^2\alpha =\frac{9-\sqrt{65}}{18}\Leftrightarrow cos\alpha =\pm \sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow cos\alpha =-\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}$ (vì $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$ nên chỉ nhận cosα < 0)

Mặt khác, ta có:

$\dpi{100} \small cos2\alpha =1-2sin^2\alpha =\frac{-\sqrt{65}}{9}$

$\small \dpi{100} \small \Leftrightarrow sin^2\alpha =\frac{9+\sqrt{65}}{18}\Leftrightarrow sin\alpha =\pm \sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}$

$\dpi{100} \small \Rightarrow sin\alpha =\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}$ (vì $\dpi{100} \small \frac{\pi }{2}< \alpha < \frac{3\pi }{4}$ nên chỉ nhận sinα > 0)

Khi đó, ta có:

$\dpi{100} \small tan\alpha =\frac{sin\alpha }{cos\alpha }=\frac{\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{18}}}{\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{18}}}=\sqrt{\frac{9+\sqrt{65}}{9-\sqrt{65}}}$

$\dpi{100} \small cot\alpha =\frac{1}{tan\alpha }=\sqrt{\frac{9-\sqrt{65}}{9+\sqrt{65}}}$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách tính giá trị lượng giác của một góc khi biết giá trị của góc nhân đôi. Việc xác định dấu của các giá trị lượng giác dựa vào khoảng của góc là bước rất quan trọng để có kết quả chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 23 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:...

Bài 2 trang 23 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính...

Bài 3 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:...

Bài 4 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau:...

Bài 6 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có:...

Bài 7 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông...

Bài 8 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại...

Bài 9 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió...