Hotline 0936685849

Giải bài 3 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

09:36:3630/03/2023

Chào các em! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải chi tiết Bài 3 trang 24 trong sách giáo khoa Toán 11 tập 1, bộ sách Chân trời sáng tạo. Bài toán này sẽ giúp các em củng cố kiến thức về công thức lượng giác cơ bản và công thức nhân đôi, từ đó tính giá trị lượng giác của một góc khi biết giá trị của góc ban đầu.

Đề bài:

Tính các giá trị lượng giác của góc 2α, biết:

a) $\small sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\small 0< \alpha < \frac{\pi }{2}$

b) $\dpi{100} \small sin\frac{\alpha}{2} =\frac{3}{4}$ và $\dpi{100} \small \pi< \alpha <2\pi$

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các công thức sau:

Công thức cơ bản: $\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$
Công thức nhân đôi:
- $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$
- $\cos(2\alpha)=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
- $\tan(2\alpha)=\frac{2\tan\alpha}{1-\tan^2\alpha}$
Xác định dấu: Dựa vào khoảng của góc $\alpha$ (hoặc $\frac{\alpha}{2}$ ) để xác định dấu của $\sin\alpha,\cos\alpha,\dots$

Chúng ta sẽ lần lượt áp dụng các công thức này để giải từng câu.

Lời giải chi tiết:

a) $\small sin\alpha =\frac{\sqrt{3}}{3}$ và $\small 0< \alpha < \frac{\pi }{2}$

Vì sin²α + cos²α = 1 nên có:

$\dpi{100} \small cos\alpha =\pm \sqrt{1-sin^2\alpha }=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{\sqrt{3}}{3} \right )^2}$

$\dpi{100} \small =\pm \sqrt{\frac{3-1}{3}}=\pm \sqrt{\frac{2}{3}}=\pm \frac{\sqrt{6}}{3}$

Vì $\small 0< \alpha < \frac{\pi }{2}$ nên $\dpi{100} \small cos\alpha >0$

vì vậy chỉ nhận $\dpi{100} \small cos\alpha =\frac{\sqrt{6}}{3}$

Khi đó:

+) $\small sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha$ $\small =2.\frac{\sqrt{3}}{3}.\frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$

+) $\dpi{100} \small cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$ $\dpi{100} \small =2.\left (\frac{\sqrt{6}}{3} \right )^2-1=\frac{1}{3}$

+) $\small tan2\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}$

+) $\small cot2\alpha =\frac{1}{tan2\alpha }=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

b) $\dpi{100} \small sin\frac{\alpha}{2} =\frac{3}{4}$ và $\dpi{100} \small \pi< \alpha <2\pi$

Vì $\small sin^2\frac{\alpha }{2}+cos^2\frac{\alpha }{2}=1$ nên có:

$\dpi{100} \small cos\frac{\alpha}{2} =\pm \sqrt{1-sin^2\frac{\alpha}{2} }=\pm \sqrt{1-\left ( \frac{3}{4} \right )^2}$

$\dpi{100} \small =\pm \sqrt{\frac{16-9}{16}}=\pm \sqrt{\frac{7}{16}}=\pm \frac{\sqrt{7}}{4}$

Vì $\dpi{100} \small \pi< \alpha <2\pi\Rightarrow \frac{\pi}{2}< \frac{\alpha}{2} <\pi$ nên $\dpi{100} \small cos\frac{\alpha}{2} <0$

vì vậy chỉ nhận $\dpi{100} \small cos\alpha =\frac{-\sqrt{7}}{4}$

Khi đó:

+) $\dpi{100} \small sin\alpha=2sin\frac{\alpha}{2}.cos\frac{\alpha}{2}$ $\dpi{100} \small =2.\frac{3}{4}.\left (\frac{-\sqrt{7}}{4} \right )=\frac{-3\sqrt{7}}{8}$

+) $\dpi{100} \small cos\alpha=2cos^2\frac{\alpha}{2}-1$ $\dpi{100} \small =2.\left (-\frac{\sqrt{7}}{4} \right )^2-1=\frac{-1}{8}$

+) $\small sin2\alpha=2sin\alpha.cos\alpha$ $\dpi{100} \small =2.\left (\frac{-3\sqrt{7}}{4} \right ).\left (\frac{-1}{8} \right )=\frac{3\sqrt{7}}{32}$

+) $\dpi{100} \small cos2\alpha=2cos^2\alpha-1$ $\dpi{100} \small =2.\left (\frac{-1}{8} \right )^2-1=\frac{-31}{32}$

+) $\dpi{100} \small tan2\alpha =\frac{sin2\alpha }{cos2\alpha }=\frac{\frac{3\sqrt{7}}{32}}{\frac{-31}{32}}=\frac{-3\sqrt{3}}{31}$

+) $\dpi{100} \small cot2\alpha =\frac{1}{tan2\alpha }=\frac{-31}{3\sqrt{7}}$

Qua bài tập này, các em đã rèn luyện được cách tính giá trị lượng giác của góc nhân đôi. Việc xác định dấu của các giá trị lượng giác dựa vào khoảng của góc là một bước rất quan trọng để có kết quả chính xác.

• Xem thêm:

Bài 1 trang 23 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:...

Bài 2 trang 23 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính...

Bài 4 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Rút gọn các biểu thức sau:...

Bài 5 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Tính các giá trị lượng giác của góc α, biết:...

Bài 6 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Chứng minh rằng tam giác ABC, ta có:...

Bài 7 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông...

Bài 8 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 4, pít – tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại...

Bài 9 trang 24 Toán 11 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt của tua bin gió...