Giải bài 5 trang 23 Toán 8 Tập 1 SGK Cánh Diều

Đề bài:

Chứng minh giá trị của mỗi biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

a) C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1);

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1);

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4);

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4).

Phân tích và hướng dẫn giải:

Để chứng minh giá trị của một biểu thức không phụ thuộc vào biến, ta cần rút gọn biểu thức đó. Nếu kết quả rút gọn là một hằng số, thì điều phải chứng minh là đúng. Các em cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức sau:

• Bình phương của một tổng/hiệu: (A±B)²=A²±2AB+B².

• Hiệu hai bình phương: A²−B²=(A−B)(A+B).

• Lập phương của một tổng/hiệu: (A±B)³=A³±3A²B+3AB²±B³.

• Tổng/Hiệu hai lập phương: A³±B³=(A±B)(A²∓AB+B²).

Lời giải chi tiết:

Ta cần vận dụng các hằng đẳng thức đã học để rút gọn các biểu thức trên, để biểu thức có giá trị là một số không chứa biến.

a) C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

Ta có: C = (3x – 1)² + (3x + 1)² – 2(3x – 1)(3x + 1)

 = [(3x – 1) – (3x + 1)]² 

 = (3x – 1 – 3x – 1)²

 = (– 1 – 1)² 

 = (–2)² 

 = 4.

Vậy biểu thức C = 4 không phụ thuộc vào biến x.

b) D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

Ta có: D = (x + 2)³ – (x – 2)³ – 12(x² + 1)

 = [(x + 2) – (x – 2)][(x + 2)² + (x + 2)(x – 2) + (x – 2)²] – 12(x² + 1)

 = (x + 2 – x + 2)[(x + 2)² + x² – 2² + (x – 2)²] – 12x² – 12

 = 4(x² + 4x + 4 + x² – 4 + x² – 4x + 4) – 12x² – 12

 = 4(3x² + 4) – 12x² – 12

 = 12x² + 16 – 12x² – 12

 = 4.

Vậy biểu thức D = 4 không phụ thuộc vào biến x.

c) E = (x + 3)(x² – 3x + 9) – (x – 2)(x² + 2x + 4)

 = (x³ + 3³) – (x³ – 2³)

 = x³ + 27 – x³+ 8

 = 35.

Vậy biểu thức E = 35 không phụ thuộc vào biến x.

d) G = (2x – 1)(4x² + 2x + 1) – 8(x + 2)(x² – 2x + 4)

 = [(2x)³ – 1³] – 8(x³ + 2³)

 = (8x³ – 1) – 8(x³ + 8)

 = 8x³ – 1 – 8x³ – 64

 = – 65.

Vậy biểu thức G = -65 không phụ thuộc vào biến x.