Giải bài 3 trang 47 Toán 10 Chân trời sáng tạo (SGK Tập 1)

Đề bài:

Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

a) f(x) = -5x + 2

b) f(x) = -x²

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để xét tính đồng biến hoặc nghịch biến của một hàm số $y=f(x)$ trên một khoảng, ta sử dụng định nghĩa sau:

• Đồng biến: Lấy hai giá trị bất kỳ x₁​,x₂​ thuộc khoảng đó. Nếu x_1​<x₂​ mà f(x₁​)<f(x₂​), thì hàm số đồng biến.

• Nghịch biến: Lấy hai giá trị bất kỳ x₁​,x₂​ thuộc khoảng đó. Nếu x_1​<x₂​ mà f(x₁​)>f(x₂​), thì hàm số nghịch biến.

Chúng ta sẽ áp dụng định nghĩa này cho từng hàm số bằng cách xét hiệu f(x₁​)−f(x_2​) hoặc so sánh trực tiếp f(x₁​) và f(x₂​).

Lời giải chi tiết:

a) f(x) = -5x + 2

Tập xác định D = R.

Lấy x₁ , x₂ là hai số thực tùy ý thỏa mãn x₁ < x₂, ta có:

Vì x₁ < x₂ nên -5x₁ > -5x₂ 

⇒ -5x₁ + 2 > - 5x₂ + 2

Mà f(x₁) = -5x₁ + 2; f(x₂)= - 5x₂ + 2;

Suy ra: f(x₁)> f(x₂)

Vậy hàm số trên nghịch biến (giảm) trên R.

b) f(x) = x²

Tập xác định D = R.

Lấy x₁ , x₂ là hai số thực tùy ý thỏa mãn x₁ < x₂, ta có:

+) Với x₁, x₂ ∈ (0; +∞) và x₁ < x₂, ta có:

 f(x₁) - f(x₂) = -x₁² + x₂² = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁)

Do x₁ < x₂ nên x₂ - x₁ > 0 do x₁, x₂ ∈ (0; +∞) nên x₁ + x₂ > 0.

Từ đây suy ra: f(x₁) - f(x₂) > 0 ⇔ f(x₁) > f(x₂)

Vậy trên khoảng (0; +∞) ta có x₁ < x₂ thì f(x₁) > f(x₂) nên hàm số nghịch biến (giảm) trên khoảng (0; +∞).

+) Với x₁,  x₂ ∈ (-∞; 0) và x₁ < x₂,

khi đó: x₁ + x₂ > 0 và x₂ – x₁ > 0

f(x₁) - f(x₂) = -x₁² + x₂² = (x₂ - x₁)(x₂ + x₁)

Do x₁ < x₂ nên x₂ - x₁ > 0 do x₁, x₂ ∈ (-∞; 0) nên x₁ + x₂ < 0.

Từ đây suy ra: f(x₁) - f(x₂) < 0 ⇔ f(x₁) < f(x₂)

Vậy trên khoảng (-∞; 0) ta có x₁ < x₂ thì f(x₁) < f(x₂) nên hàm số đồng biến (tăng) trên khoảng (-∞; 0).