Giải bài 2 trang 39 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Để biểu diễn miền nghiệm của một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta thực hiện các bước sau:

1. Vẽ đường thẳng: Đối với mỗi bất phương trình, ta vẽ đường thẳng tương ứng (ví dụ: $x-2y=0$). Đường thẳng này chia mặt phẳng tọa độ thành hai nửa mặt phẳng.

2. Chọn điểm thử: Chọn một điểm bất kỳ không nằm trên đường thẳng vừa vẽ (thường là gốc tọa độ O(0; 0) nếu đường thẳng không đi qua nó). Thay tọa độ điểm này vào bất phương trình để kiểm tra.

3. Xác định miền nghiệm:

   • Nếu điểm thử thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm đó.

   • Nếu điểm thử không thỏa mãn bất phương trình, miền nghiệm là nửa mặt phẳng còn lại.

   • Nếu bất phương trình không có dấu "=", ta sẽ gạch bỏ nửa mặt phẳng không phải là miền nghiệm và vẽ đường thẳng bằng nét đứt.

4. Kết hợp miền nghiệm: Miền nghiệm của hệ bất phương trình là giao của tất cả các miền nghiệm của từng bất phương trình con.

Lời giải chi tiết:

Biểu diễn miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ:

+ Vẽ đường thẳng a: x -  2y = 0 đi qua hai điểm O(0; 0) và A(2; 1).

Xét điểm B(0; 1). Ta có B ∉ a và 0 – 2.1 = - 2 < 0.

Do đó B(0; 1) không phải là nghiệm của bất phương trình: x – 2y > 0

Miền nghiệm của bất phương trình x – 2y > 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng a (không kể bờ a) và không chứa điểm B (0 ; 1).

+ Vẽ đường thẳng b: x  + 3y = 3 đi qua hai điểm B(0; 1) và C(3; 0).

Xét điểm gốc tọa độ O(0; 0). Ta có O ∉ b và 0 + 3.0 = 0 < 3.

Do đó (0 ; 0) là nghiệm của bất phương trình: x + 3y < 3.

Miền nghiệm của bất phương trình x + 3y -3 < 0 là nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng b (không kể bờ b) và chứa điểm O (0 ; 0).

Ta có hình sau:

Vậy, miền tô màu đậm (không bao gồm các đường thẳng a và b) là phần giao miền nghiệm của các bất phương trình trong hệ và cũng là phần biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.