Giải bài 4 trang 39 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Một công ty cần mua các tủ đựng hồ sơ. Có hai loại tủ: Tủ loại A chiếm 3 m² sàn, loại này có sức chứa 12 m³ và có giá 7,5 triệu đồng ; tủ loại B chiếm 6 m² sàn, loại này có sức chứa 18 m³ và có giá 5 triệu.

Cho biết công ty chỉ thu xếp được nhiều nhất là 60 m² mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ và ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch mua sắm để công ty có thể được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm cách mua hai loại tủ để đựng được nhiều hồ sơ nhất, với hai điều kiện ràng buộc: diện tích mặt bằng và số tiền có.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Lập hệ bất phương trình: Chúng ta sẽ gọi $x$ và $y$ là số lượng tủ cần mua. Từ các điều kiện về diện tích và ngân sách, chúng ta sẽ lập các bất phương trình tương ứng.

2. Xác định miền nghiệm: Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ để xác định vùng chứa tất cả các cách mua tủ có thể. Vùng này chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

3. Tìm giá trị lớn nhất: Sau đó, chúng ta sẽ tính tổng sức chứa hồ sơ tại các đỉnh của miền nghiệm. Giá trị lớn nhất tìm được sẽ cho chúng ta biết cách mua tủ tối ưu.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (chiếc) là số tủ loại A, y (chiếc) là số tủ loại B mà công ty cần mua.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Khi đó, x chiếc tủ loại A chiếm 3x m² sàn ; y chiếc tủ loại B chiếm 6y m² sàn.

Tổng mặt bằng hai loại tủ chiếm: 3x + 6y (m²)

Do công ty chỉ thu xếp được 60 m² mặt bằng cho chỗ đựng hồ sơ nên ta có bất phương trình : 3x + 6y ≤ 60 hay x + 2y ≤ 20.

Số tiền cần dùng để mua x chiếc tủ loại A là: 7,5x (triệu đồng) ; mua y chiếc tủ loại B cần số tiền là 5y (triệu đồng).

Tổng số tiền dùng mua hai loại tủ trên là: 7,5x + 5y (triệu đồng).

Do ngân sách mua tủ không quá 60 triệu đồng nên ta có bất phương trình :

7,5x + 5y ≤ 60 hay 1,5x + y ≤ 12.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh).

Các đỉnh O(0 ; 0) ; A (0 ; 10) ; B(2 ; 9) ; C(8 ; 0).

Gọi F là thể tích đựng hồ sơ của công ty.

Ta có x chiếc tủ loại A sẽ có sức chứa 12x (m³) ; y chiếc tủ loại B có sức chứa 18y (m³).

Tổng sức chứa của hai loại tủ là : 12x + 18y (m³).

Do đó: F = 12x + 18y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 12.0 + 18.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 10) : F= 12.0 + 18.10 = 180 ;

Tại B(2 ; 9) : F = 12.2 + 18.9= 186;

Tại C(8 ; 0): F = 12.8 + 18.0= 96.

F đạt giá trị lớn nhất là 186 tại B(2 ; 9).

Vậy để công ty có được thể tích đựng hồ sơ lớn nhất thì công ty cần mua 2 tủ loại A và 9 tủ loại B.