Giải bài 3 trang 39 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

• Bước 1: Lập hệ bất phương trình.

  • Gọi các biến đại diện cho số lượng sản phẩm cần sản xuất.

  • Dựa vào bảng dữ liệu, lập các bất phương trình biểu diễn lượng nguyên liệu dự trữ cho từng loại (I, II, III).

  • Kết hợp các bất phương trình lại thành một hệ.

• Bước 2: Xác định miền nghiệm.

  • Vẽ đồ thị của từng bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy.

  • Xác định miền nghiệm chung của hệ bất phương trình. Đây chính là miền chứa tất cả các phương án sản xuất khả thi.

• Bước 3: Xây dựng hàm mục tiêu.

  • Lập biểu thức tính tổng lợi nhuận (gọi là hàm mục tiêu) theo các biến đã gọi.

• Bước 4: Tìm giá trị lớn nhất.

  • Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh của miền nghiệm.

  • Giá trị lớn nhất của hàm mục tiêu sẽ đạt được tại một trong các đỉnh này. Từ đó, ta tìm được số lượng sản phẩm cần sản xuất để tối đa hóa lợi nhuận.

Lời giải chi tiết bài 3 trang 39 Toán 10:

Gọi x (kg) là khối lượng sản phẩm A; y (kg) là khối lượng sản phẩm B mà công ty sản xuất.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 2x (kg).

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là y (kg).

Tổng nguyên liệu loại I cần dùng là 2x + y (kg).

Mặt khác, số nguyên liệu dự trữ loại I là 8 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + y ≤ 8.

Tương tự,

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 4x (kg).

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 4y (kg).

Tổng nguyên liệu loại II cần dùng là 4x + 4y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại II là 24 kg, nên ta có bất phương trình : 4x + 4y ≤ 24, tức là x + y ≤ 6.

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là x (kg).

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 2y (kg).

Tổng nguyên liệu loại III cần dùng là x + 2y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại III là 8 kg, nên ta có bất phương trình: x + 2y ≤ 8.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau :

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A(0 ; 4) ; B(8/3; 8/3) ; C(4; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta có:

Tiền lãi thu được từ x kg sản phẩm loại A là : 30x (triệu đồng) .

Tiền lãi thu được từ y kg sản phẩm loại B là : 50y (triệu đồng).

Khi đó F = 30x + 50y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 30.0 +50.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 4) : F = 30 . 0 + 50 . 4 = 200 ;

Tại B(8/3; 8/3): F = 30.(8/3) + 50.(8/3) = 640/3≈ 213

Tại C(4 ; 0) : F = 30 . 4 + 50 . 0 =120.

F đạt lớn nhất bằng 213 tại B(8/3; 8/3)

Vậy công ty nên sản xuất  8/3(kg) sản phẩm loại A và 8/3(kg) sản phẩm loại B để thu về tiền lãi lớn nhất.