Giải bài 3 trang 39 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Một công ty dự định sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này được chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II, III. Số kilôgam dự trữ từng loại nguyên liệu và số kilôgam từng loại cần dùng để sản xuất 1 kg sản phẩm được cho trong bảng sau:

Công ty đó nên sản xuất bao nhiêu sản phẩm mỗi loại để tiền lãi thu về lớn nhất ? Biết rằng, mỗi kilogam sản phẩm loại A lãi 30 triệu đồng, mỗi sản phẩm loại B lãi 50 triệu đồng.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm số lượng sản phẩm A và B để đạt được lợi nhuận lớn nhất, với ba điều kiện ràng buộc về lượng nguyên liệu.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Lập hệ bất phương trình: Gọi $x$ và $y$ là khối lượng sản phẩm A và B cần sản xuất. Dựa vào bảng dữ liệu, chúng ta sẽ lập các bất phương trình để đảm bảo lượng nguyên liệu không vượt quá lượng dự trữ.

2. Xác định miền nghiệm: Vẽ các đường thẳng tương ứng trên mặt phẳng tọa độ để tìm vùng chứa tất cả các phương án sản xuất khả thi.

3. Tìm biểu thức lợi nhuận: Xây dựng một biểu thức tính tổng số tiền lãi thu được theo $x$ và $y$.

4. Tính lợi nhuận tại các đỉnh: Miền nghiệm là một đa giác. Chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức lợi nhuận tại các đỉnh của đa giác này. Giá trị lớn nhất tìm được sẽ cho chúng ta biết phương án sản xuất tối ưu.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (kg) là khối lượng sản phẩm A; y (kg) là khối lượng sản phẩm B mà công ty sản xuất.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 2x (kg).

Số nguyên liệu loại I cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là y (kg).

Tổng nguyên liệu loại I cần dùng là 2x + y (kg).

Mặt khác, số nguyên liệu dự trữ loại I là 8 kg, nên ta có bất phương trình : 2x + y ≤ 8.

Tương tự,

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là 4x (kg).

Số nguyên liệu loại II cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 4y (kg).

Tổng nguyên liệu loại II cần dùng là 4x + 4y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại II là 24 kg, nên ta có bất phương trình : 4x + 4y ≤ 24, tức là x + y ≤ 6.

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra x kg sản phẩm A là x (kg).

Số nguyên liệu loại III cần dùng để sản xuất ra y kg sản phẩm B là 2y (kg).

Tổng nguyên liệu loại III cần dùng là x + 2y (kg).

Số nguyên liệu dự trữ loại III là 8 kg, nên ta có bất phương trình: x + 2y ≤ 8.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau :

Biểu diễn miền nghiệm của hệ này trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta được hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A(0 ; 4) ; B(8/3; 8/3) ; C(4; 0).

Gọi F là số tiền lãi thu được (đơn vị: triệu đồng), ta có:

Tiền lãi thu được từ x kg sản phẩm loại A là : 30x (triệu đồng) .

Tiền lãi thu được từ y kg sản phẩm loại B là : 50y (triệu đồng).

Khi đó F = 30x + 50y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O (0 ; 0) : F = 30.0 +50.0 = 0 ;

Tại A (0 ; 4) : F = 30 . 0 + 50 . 4 = 200 ;

Tại B(8/3; 8/3): F = 30.(8/3) + 50.(8/3) = 640/3≈ 213

Tại C(4 ; 0) : F = 30 . 4 + 50 . 0 =120.

F đạt lớn nhất bằng 213 tại B(8/3; 8/3)

Vậy công ty nên sản xuất  8/3(kg) sản phẩm loại A và 8/3(kg) sản phẩm loại B để thu về tiền lãi lớn nhất.