Giải bài 6 trang 39 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài 6 trang 39 Toán 10:

Một xưởng sản xuất có hai máy đặc chủng A, B sản xuất hai loại sản phẩm X, Y. Để sản xuất một tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Để sản xuất một tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2 giờ và dùng máy B trong 2 giờ. Cho biết mỗi máy không thể sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm.

Máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày; máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày. Một tấn sản phẩm X lãi 10 triệu đồng và một tấn sản phẩm Y lãi 8 triệu đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất mỗi ngày sao cho tổng số tiền lãi cao nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải

Để lập kế hoạch sản xuất tối ưu, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:

1. Lập hệ bất phương trình:

   • Gọi ẩn là số lượng sản phẩm X và Y cần sản xuất.

   • Dựa vào giới hạn thời gian làm việc của mỗi máy, lập các bất phương trình tương ứng.

2. Xác định miền nghiệm:

   • Vẽ đồ thị của hệ bất phương trình để xác định miền nghiệm. Miền nghiệm này là tập hợp tất cả các phương án sản xuất khả thi.

3. Lập hàm mục tiêu:

   • Xây dựng biểu thức tính tổng lợi nhuận theo các ẩn đã gọi. Đây chính là hàm mục tiêu mà chúng ta cần tối đa hóa.

4. Tìm giá trị lớn nhất:

   • Tính giá trị của hàm mục tiêu tại các đỉnh của miền nghiệm.

   • Giá trị lớn nhất tìm được chính là lợi nhuận tối đa.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (tấn) là khối lượng sản phẩm X mà xưởng sản xuất ra trong một ngày; y(tấn) là khối lượng sản phẩm Y mà xưởng sản xuất ra trong một ngày.

Hiển nhiên x ≥ 0 và y ≥ 0.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy A trong 6x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy A trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy A trong một ngày là 6x + 2y (giờ).

Do máy A làm việc không quá 12 giờ một ngày nên ta có bất phương trình :

6x + 2y ≤ 12, hay 3x + y ≤ 6.

Để sản xuất x tấn sản phẩm X cần dùng máy B trong 2x (giờ) ; để sản xuất y tấn sản phẩm Y cần dùng máy B trong 2y (giờ).

Tổng số giờ dùng máy B trong một ngày là 2x + 2y (giờ).

Do máy B làm việc không quá 8 giờ một ngày nên ta có bất phương trình: 2x + 2y ≤ 8, hay x + y  ≤ 4.

Vậy ta có hệ bất phương trình:

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác OABC (bao gồm cả các cạnh) với các đỉnh O(0; 0) ; A(0; 4); B(1; 3) ; C (2; 0)  .

Gọi F (triệu đồng) là số tiền lãi thu được.

Với x tấn sản phẩm X thì số tiền lãi là 10x (triệu đồng); với y tấn sản phẩm  Y thì số tiền lãi là 8y (triệu đồng). Tổng số tiền lãi là 10x + 8y (triệu đồng).

Do đó F =10x + 8y

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tứ giác OABC :

Tại O(0; 0): F = 10.0 + 8.0 = 0;

Tại A(0; 4): F = 10.0 + 8.4 = 32.

Tại B(1; 3): F = 10.1 + 8.3 = 34;

Tại C(2; 0): F= 10.2 + 8.0 = 20;

F đạt giá trị lớn nhất là 34 tại B(1; 3) 

Vậy để tổng số tiền lãi cao nhất thì xưởng phải sản xuất 1 tấn sản phẩm X và 3 tấn sản phẩm Y.