Giải bài 5 trang 39 Toán 10 tập 1 SGK Chân trời sáng tạo

Đề bài:

Một nông trại thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây. Chủ nông trại muốn làm các hũ tương cà để bán. Biết rằng, để làm ra một hũ tương cà loại A cần 10 kg cà chua cùng với 1kg hành tây và khi bán lãi được 200 nghìn đồng, còn để làm được một hũ tương cà loại B cần 5 kg cà chua cùng với 0,25 kg hành tây và khi bán lãi được 150 nghìn đồng.

Thăm dò thị hiếu của khách hàng cho thấy cần phải làm số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B. Hãy giúp chủ nông trại lập kế hoạch làm tương cà để có được nhiều tiền lãi nhất.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Bài toán yêu cầu chúng ta tìm cách sản xuất tương cà loại A và B để đạt được lợi nhuận lớn nhất, với các điều kiện ràng buộc về nguyên liệu và thị hiếu khách hàng.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Lập hệ bất phương trình: Chúng ta sẽ gọi $x$ và $y$ là số hũ tương cà cần sản xuất. Từ các điều kiện về lượng cà chua, hành tây và thị hiếu khách hàng, chúng ta sẽ lập các bất phương trình tương ứng.

2. Xác định miền nghiệm: Chúng ta sẽ vẽ các đường thẳng trên mặt phẳng tọa độ để xác định vùng chứa tất cả các phương án sản xuất có thể. Vùng này chính là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

3. Tìm giá trị lớn nhất: Sau đó, chúng ta sẽ tính tổng số tiền lãi thu được tại các đỉnh của miền nghiệm. Giá trị lớn nhất tìm được sẽ cho chúng ta biết phương án sản xuất hiệu quả nhất.

Lời giải chi tiết:

Gọi x (hũ) là số hũ tương cà loại A, y (hũ) là số hũ tương cà loại B.

Hiển nhiên ta có x ≥ 0, y ≥ 0 và x ∈ ℕ.

Để làm x hũ tương cà loại A cần 10x (kg) cà chua và x (kg) hành tây.

Để làm y hũ tương cà loại B cần 5y (kg) cà chua và 0,25y (kg) hành tây.

Khi đó tổng khối lượng cà chua cần dùng là: 10x + 5y (kg) ;

Tổng khối lượng hành tây cần dùng là x + 0,25  (kg).

Do nông trại chỉ thu hoạch được 180 kg cà chua và 15 kg hành tây nên ta có các bất phương trình sau :

10x + 5y ≤ 180, tức là 2x + y ≤ 36.

Và x + 0,25y  ≤ 15.

Mặt khác, số hũ tương loại A ít nhất gấp 3,5 lần số hũ tương loại B nên ta có bất phương trình x ≥ 3,5y.

Vậy ta có hệ bất phương trình sau:

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ Oxy ta có hình sau:

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác OAB (bao gồm các cạnh) với các đỉnh O(0 ; 0) ; A (14 ; 4) ; B(15 ; 0).

Gọi F là số tiền lãi (đơn vị : nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ x hũ tương cà loại A là: 200x (nghìn đồng).

Số tiền lãi thu được từ y hũ tương cà loại B là: 150y (nghìn đồng).

Tổng số tiền lãi là 200x + 150y (nghìn đồng). Tức là F = 200x + 150y.

Tính giá trị của F tại các đỉnh của tam giác OAB :

Tại O (0 ; 0) : F = 200.0 + 150.0 = 0;

Tại A (14 ; 4) : F= 200. 14  + 150. 4  = 3 400 ;

Tại  B(15 ; 0): F = 200.15 + 150.0 = 3 000;

F đạt giá trị lớn nhất là 3 400  tại A (14 ; 4).

Vậy để nông trại có nhiều tiền lãi nhất thì nông trại phải sản xuất 14 hũ loại A và 4 hũ loại B.