Bài 1.27 trang 41 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Giả sử chi phí (tính bằng trăm nghìn đồng) để sản xuất x đơn vị hàng hóa nào đó là:

C(x) = 23000 + 50x - 0,5x² + 0,00175x³

a) Tìm hàm chi phí biên.

b) Tìm C’(100) và giải thích ý nghĩa của nó.

c) So sánh C’(100) với chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101.

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hàm số chi phí sản xuất C(x)=23000+50x−0,5x²+0,00175x³, trong đó $C(x)$ là chi phí (trăm nghìn đồng) để sản xuất $x$ đơn vị hàng hóa.

Bài toán có ba yêu cầu chính:

a) Tìm hàm chi phí biên: Hàm chi phí biên C′(x) chính là đạo hàm của hàm chi phí $C(x)$.

b) Tìm C′(100) và giải thích ý nghĩa: Ta thay $x=100$ vào hàm chi phí biên vừa tìm được. Giá trị C′(x) tại một điểm cho biết chi phí xấp xỉ để sản xuất thêm một đơn vị sản phẩm nữa.

c) So sánh C′(100) với chi phí thực tế: Chi phí sản xuất đơn vị hàng hóa thứ 101 là hiệu của tổng chi phí sản xuất 101 đơn vị và tổng chi phí sản xuất 100 đơn vị, tức là $C(101)-C(100)$.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm chi phí biên là: C'(x) = 0,00525x² - x + 50

b) Ta có: C'(100) = = 0,00525.100² - 100 + 50 = 2,5 (trăm nghìn đồng)

Chi phí biên tại x = 100 là 250 000 đồng, nghĩa là chi phí để sản xuất thêm một đơn vị hàng hóa tiếp theo (đơn thứ 101) là khoảng 250 000 đồng.

c) Chi phí sản xuất đơn hàng thứ 101 là:

C(101) - C(100) = 24752,52675 - 24750 = 2,52675

Giá trị này xấp xỉ với chi phí biên C’(100) đã tính ở câu b.