Bài 1.26 trang 40 Toán 12 tập 1 Kết nối tri thức

Đề bài:

Giả sử một hạt chuyển động trên một trục thẳng đứng chiều dương hướng lên trên sao cho tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là y = t³ - 12t + 3, t ≥ 0

a) Tìm các hàm vận tốc và gia tốc.

b) Khi nào thì hạt chuyển động lên trên và khi nào thì hạt chuyển động xuống dưới?

c) Tìm quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian 0 ≤ t 3

d) Khi nào hạt tăng tốc? Khi nào hạt giảm tốc?

Phân tích và Hướng dẫn giải:

Đề bài cho hàm số vị trí của một hạt chuyển động trên trục thẳng đứng là y(t)=t³−12t+3 với $t\ge 0$. Chúng ta cần giải quyết bốn yêu cầu:

1. Tìm hàm vận tốc và gia tốc:

   • Vận tốc là đạo hàm bậc nhất của hàm vị trí: v(t)=y′(t).

   • Gia tốc là đạo hàm bậc hai của hàm vị trí (hay đạo hàm bậc nhất của hàm vận tốc): a(t)=v′(t)=y′′(t).

2. Xác định chiều chuyển động:

   • Hạt chuyển động lên trên khi vận tốc dương: $v(t)>0$.

   • Hạt chuyển động xuống dưới khi vận tốc âm: $v(t)<0$.

3. Tính quãng đường đi được: Quãng đường đi được trong khoảng thời gian [t1​,t2​] được tính bằng tích phân của tốc độ, hoặc trong trường hợp này, vì hạt có đổi chiều, ta cần tính tổng giá trị tuyệt đối của sự thay đổi vị trí.

4. Xác định lúc tăng tốc/giảm tốc:

   • Hạt tăng tốc khi vận tốc và gia tốc cùng dấu: $v(t)\cdot a(t)>0$.

   • Hạt giảm tốc khi vận tốc và gia tốc trái dấu: $v(t)\cdot a(t)<0$.

Lời giải chi tiết:

a) Hàm vận tốc là: v(t) = y' = 3t² - 12, t ≥ 0

Hàm gia tốc là: a(t) = v'(t) = y'' = 6t,  t ≥ 0

b) Hạt chuyển động lên trên khi v(t) > 0

⇔  3t² - 12 > 0 ⇔ t > 2 (vì t ≥ 0)

Hạt chuyển động xuống dưới khi v(t) < 0

⇔  3t² - 12 < 0 ⇔ 0 ≤ t < 2 (vì t ≥ 0)

c) Ta có: y(3) - y(0) = 3³ - 12.3 + 3 - 3 = - 9

Vậy quãng đường vật đi được trong thời gian 0 ≤ t ≤ 3 là 9 (m).

d) Hạt tăng tốc khi v(t) tăng hay v'(t) > 0.

Nên 6t > 0 ⇔ t > 0

Hạt giảm tốc khi v(t) giảm hay v'(t) < 0.

Nên 6t < 0 ⇔ t < 0 (không thỏa mãn vì t ≥ 0)