Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song (siêu nhanh) - Toán hình 10

Thực tế, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song chính là việc vận dụng linh hoạt công thức tính khoảng cách từ một điểm tới đường thẳng. Bài viết này sẽ giúp các em nắm vững phương pháp và các dạng bài tập minh họa chi tiết.

I. Lý thuyết và Công thức tính khoảng cách

Cho hai đường thẳng $(d_1)$ và $(d_2)$ song song với nhau. Khoảng cách giữa hai đường thẳng này được xác định bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Trong đó: $A$ là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng $d_1$.

Các bước thực hiện:

• Bước 1: Đưa phương trình các đường thẳng $d_1, d_2$ về dạng tổng quát: $Ax + By + C = 0$.

• Bước 2: Lấy một điểm $A$ bất kỳ thuộc đường thẳng $d_1$ (bằng cách cho $x$ một giá trị và tính $y$).

• Bước 3: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm $A(x_0; y_0)$ đến đường thẳng $d_2: Ax + By + C = 0$:

  $$d(A, d_2) = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

• Bước 4: Kết luận khoảng cách cần tìm.

II. Các ví dụ minh họa chi tiết

Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng dạng tổng quát

Tính khoảng cách giữa $d_1: 2x - 3y - 12 = 0$ và $d_2: 4x - 6y + 3 = 0$.

Lời giải:

1. Xét vị trí tương đối: $\frac{2}{4} = \frac{-3}{-6} \neq \frac{-12}{3}$ nên $d_1 \parallel d_2$.

2. Chọn điểm $A \in d_1$: Cho $y = -2 \Rightarrow 2x - 3(-2) - 12 = 0 \Rightarrow x = 3$. Ta có $A(3; -2) \in d_1$.

3. Áp dụng công thức:

   $$d(d_1, d_2) = d(A, d_2) = \frac{|4 \cdot 3 - 6(-2) + 3|}{\sqrt{4^2 + (-6)^2}} = \frac{27}{\sqrt{52}} = \frac{27}{2\sqrt{13}}$$

Ví dụ 2: Khoảng cách giữa hai đường thẳng có hệ số tỉ lệ

Tính khoảng cách giữa $d_1: 6x - 8y + 3 = 0$ và $d_2: 3x - 4y - 6 = 0$.

Lời giải:

1. Ta thấy $d_1 \parallel d_2$ (vì $\frac{6}{3} = \frac{-8}{-4} \neq \frac{3}{-6}$).

2. Chọn điểm $B \in d_2$: Cho $y = 0 \Rightarrow 3x - 6 = 0 \Rightarrow x = 2$. Ta có $B(2; 0) \in d_2$.

3. Tính khoảng cách:

   $$d(d_1, d_2) = d(B, d_1) = \frac{|6 \cdot 2 - 8 \cdot 0 + 3|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{15}{10} = 1,5$$

Mẹo nhỏ: Khi chọn điểm $A$, các em nên chọn sao cho $x$ hoặc $y$ bằng $0$ để biểu thức tính toán đơn giản hơn và tránh sai sót số học.

Ví dụ 3: Đường thẳng cho dưới dạng tham số

Tính khoảng cách giữa $d_1: 7x + y - 3 = 0$ và $d_2$ có phương trình tham số: $\begin{cases} x = -2 + t \\ y = 2 - 7t \end{cases}$

Lời giải:

1. Chuyển $d_2$ về dạng tổng quát: $d_2$ qua $A(-2; 2)$ có VTCP $\vec{u} = (1; -7) \Rightarrow$ VTPT $\vec{n} = (7; 1)$.

   Phương trình $d_2: 7(x + 2) + 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 7x + y + 12 = 0$.

2. Vì $\frac{7}{7} = \frac{1}{1} \neq \frac{-3}{12}$ nên $d_1 \parallel d_2$.

3. Lấy điểm $A(-2; 2) \in d_2$:

   $$d(d_1, d_2) = d(A, d_1) = \frac{|7(-2) + 2 - 3|}{\sqrt{7^2 + 1^2}} = \frac{15}{\sqrt{50}} = \frac{15}{5\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$

III. Các dạng toán mở rộng liên quan

Ví dụ 4: Tìm tập hợp các điểm cách đều đường thẳng

Tìm tập hợp các điểm cách đường thẳng $\Delta: 4x + 3y - 6 = 0$ một khoảng bằng $1$.

Lời giải:

Gọi $M(x; y)$ là điểm thỏa mãn yêu cầu. Ta có:

• TH1: $4x + 3y - 6 = 5 \Leftrightarrow 4x + 3y - 11 = 0$

• TH2: $4x + 3y - 6 = -5 \Leftrightarrow 4x + 3y - 1 = 0$

  Tập hợp các điểm cần tìm là hai đường thẳng song song cách $\Delta$ một khoảng bằng $1$.

Ví dụ 5: Viết phương trình đường thẳng cách đều

Cho $d_1: 6x + 8y - 20 = 0$ và $d_2: 6x + 8y + 22 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $\Delta$ song song và cách đều $d_1, d_2$.

Lời giải:

Lấy $M(x; y) \in \Delta$, vì $\Delta$ cách đều $d_1, d_2$ nên:

(Loại trường hợp $6x + 8y - 20 = 6x + 8y + 22$ vì vô lý).