Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song - Toán hình 10

Bài viết này sẽ cho các em thấy việc tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, thực tế là ta vận dụng công thức tính khoảng cách từ 1 điểm tới đường thẳng.

» Đừng bỏ lỡ: Cách tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng chi tiết

Thật vậy, nếu cho hai đường thẳng (d₁) và (d₂) song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia, tức là:

 d(d₁; d₂) = d( A; d₂) trong đó A là điểm bất kỳ thuộc đường thẳng d₁.

* Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song ta thực hiện như sau:

+ Bước 1: Đưa phương trình đường thẳng d₁; d₂ đã cho về dạng tổng quát.

+ Bước 2: Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d₁.

+ Bước 3: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d₂.

+ Bước 4: Kết luận:  d(d₁;d₂) = d(A;d₂).

* Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng qua các bài minh họa

* Ví dụ 1: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d₁: 2x - 3y - 12 = 0 và d₂: 4x - 6y + 3 = 0:

* Lời giải:

- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d₁ và d₂ ta có:

 2/4 = -3/-6 ≠ -12/3

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d₁ // d₂.

- Ta lấy điểm A(3;-2) ∈ d₁ khi đó khoảng cách từ điểm A tới d₂ chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁ và d₂.

 d(d₁;d₂) = d(A;d₂) = |4.3 - 6.(-2) + 3|/√(4² + (-6)²) = 27/√52.

* Ví dụ 2: Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁: 6x - 8y + 3 = 0 và d₂: 3x - 4y - 6 = 0.

* Lời giải:

- Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng d₁ và d₂ ta có:

 6/3 = -8/-4 ≠ 3/-6

⇒ Hai đường thẳng d₁, d₂ đã cho song song với nhau: d₁ // d₂.

- Lấy điểm B(2;0) ∈ d₂  khi đó khoảng cách từ điểm B tới d₁ chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁ và d₂.

  d(d₁;d₂) = d(B;d₁) = |6.2 - 8.0 + 3|/√(6² + 8²) = 15/√100 = 15/10 = 3/2

> Lưu ý: Việc chọn 1 điểm thuộc đường thẳng d₁ (hoặc d₂) các em nên chọn giá trị x, y sao cho là số nguyên nhỏ (như 0; 1; -1; 2; -2) thỏa phương trình đường thẳng d₁ (hoặc d₂) để thuận tiện tính toán.

* Ví dụ 3: Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng d₁: 7x + y - 3 và d₂ có phương trình tham số: x = -2 + t và y = 2 - 7t.

* Lời giải:

- Ta cần đưa phương trình tham số của d₂ về phương trình tổng quát:

 d₂: qua điểm A(-2;2) có VTCP u(1;-7) suy ra VTPT n(7;1)

⇒ Phương trình tổng quát của d₂ là: 7(x + 2) + 1(y - 2) = 0 ⇔ 7x + y + 12 = 0

- Ta xác định vị trí d₁ và d₂, có: 7/7 = 1/1 ≠ -3/12 nên d₁//d₂

- Như vậy, giờ ta cần tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song d₁: 7x + y - 3 và d₂: 7x + y + 12 = 0.

- Ta lấy ngay điểm A(-2;2) ∈ d₂. ta có:

   d(d₂;d₁) = d(A;d₁) = |7.(-2) + 1.2 - 3|/√(7² + 1²) = 15/√50 = 3/√2 = 3√2/2.

* Ví dụ 4: Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 4x + 3y - 6 = 0 một khoảng bằng 1?

* Lời giải:

- Gọi điểm M (x ; y) là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 1. Như vậy ta có:

 d(M; Δ) = 1 ⇔ |4x + 3y - 6|/√(4² + 3²) = 1

⇔ |4x + 3y - 6| = 5 ⇔ 4x + 3y - 6 = 5 hoặc 4x + 3y - 6 = -5

⇔ 4x + 3y - 11 = 0 hoặc 4x + 3y - 1 = 0.

- Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 1 là 2 đường thẳng:

 4x + 3y - 11 = 0 và 4x + 3y - 1 = 0.

* Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d₁: 6x + 8y - 20 = 0 và d₂: 6x + 8y + 22 = 0 song song nhau. Viết phương trình đường thẳng Δ vừa song song và cách đều với d₁; d₂.

* Lời giải:

- Lấy điểm M (x; y) thuộc đường thẳng Δ, ta có:

 d(M;d₁) = d(M;d₂) ⇔ |6x + 8y - 20|/√(6² + 8²) = |6x + 8y + 22|/√(6² + 8²)

⇔ |6x + 8y - 20| = |6x + 8y + 22|

⇔ 6x + 8y - 20 = 6x + 8y + 22 hoặc 6x + 8y - 20 = -(6x + 8y + 22)

⇔ -44 = 0 (vô lý) hoặc 12x + 16y + 2 = 0 hay 6x + 8y + 1 = 0

Vậy đường thẳng Δ: 6x + 8y + 1 = 0 song song và cách đều d₁; d₂