Cách tìm cực trị của hàm số (hai quy tắc tìm cực trị của hàm số) - Toán lớp 12

Nắm được phương pháp tìm cực trị của hàm số là điều không quá khó, vì vậy các em đừng bỏ lỡ cơ hội đạt điểm cao từ câu hỏi này.

• Các dạng bài tập tìm cực trị của hàm số

Trước tiên các em cần nhớ rằng chúng ta có 2 quy tắc tìm cực trị của hàm số:

* Quy tắc tìm cực trị 1:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.

- Bước 3: Lập bảng biến thiên

- Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra cực trị

* Quy tắc tìm cực trị 2:

- Bước 1: Tìm tập xác định

- Bươc 2: Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 tìm các nghiệm x_i (i=1,2,...)

- Bước 3: Tính f''(x) và tính các giá trị f''(x_i)

- Bước 4: Dựa vào dấu của f''(x_i) suy ra tính chất cực trị tại x_i.

Để giải tốt các bài toán bằng cực trị các em bắt buộc phải nhớ các ý sau:

1. Hàm số y = f(x) CÓ cực trị ⇔ y' đổi dấu

2. Hàm số y = f(x) KHÔNG có cực trị ⇔ y' KHÔNG đổi dấu

3. Hàm số y = f(x) có 1 cực trị ⇔ y' đổi dấu 1 lần

4. Hàm số y = f(x) có 2 cực trị ⇔ y' đổi dấu 2 lần

5. Hàm số y = f(x) có 3 cực trị ⇔ y' đổi dấu 3 lần

6. Hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x₀ nếu: 

7. Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x₀ nếu: 

8. Hàm số y = f(x)  có đạo hàm và đạt cực trị tại x₀ ⇒ f'(x₀)=0

9. Hàm số y = f(x) có đạo hàm và đạt cực trị bằng c tại x = x₀ 

* Lưu ý: Đối với một hàm số bất kỳ, hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm triệt tiêu hoặc đạo hàm không xác định.

* Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số: y = f(x) = 2x³ + 3x² - 36x - 10.

* Lời giải:

+ Cách 1: Ta tìm cực trị bằng quy tắc 1:

- Ta có: TXĐ: D = R

- Đạo hàm: f'(x) = 6x² + 6x - 36

- Cho f'(x) = 0 ⇔ 6x² + 6x - 36 = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

- Tại điểm x = -3 thì y = 71; x = 2 thì y = -54.

 Giới hạn: 

- Ta có bảng biến thiên sau:

+ Cách 2: Ta tìm cực trị bằng quy tắc 2

- Đạo hàm cấp 1: f'(x) = 6x² + 6x - 36

- Cho f'(x) = 0 ⇔ 6x² + 6x - 36 = 0 ⇔ x = -3 hoặc x = 2

- Tại điểm x = -3 thì y = 71; x = 2 thì y = -54.

 Giới hạn: 

- Đạo hàm cấp 2: f''(x) = 12x + 6

 Tại điểm x = -3; f''(-3) = -30<0 (luôn âm) nên cho cực đại

 Tại điểm x = 2; f''(2) = 30>0 (luôn dương) nên cho cực tiểu