Cách giải phương trình bậc 2 chứa tham số m - Toán lớp 10

Vậy làm sao để giải phương trình có chứa tham số m (hay tìm m để phương trình có nghiệm thỏa điều kiện nào đó) một cách đầy đủ và chính xác. Chúng ta cùng ôn lại một số nội dung lý thuyết và vận dụng giải các bài toán minh họa phương trình bậc 2 có chứa tham số để rèn kỹ năng giải dạng toán này.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

° Cách giải phương trình bậc 2 có chứa tham số m

¤ Nếu a = 0 thì tìm nghiệm của phương trình bậc nhất

¤ Nếu a ≠ 0 thì thực hiện các bước sau:

- Tính biệt số Δ

- Xét các trường hợp của Δ (nếu Δ có chứa tham số)

- Tìm nghiệm của phương trình theo tham số

* Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: 3x² - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0 (*)

° Lời giải:

- Bài toán có hệ số b chẵn nên thay vì tính Δ ta tính Δ'. Ta có:

Δ'= [-(m + 1)]² – 3.(3m – 5)

  = (m + 1)² – 9m +15 > 0

  = m² + 2m + 1 – 9m + 15

  = m² – 7m + 16 > 0

  = (m – 7/2)² + 15/4 > 0

- Như vậy, Δ' > 0, ∀m ∈ R nên phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình bậc 2 chứa ẩn dưới dấu căn cực hay 

* Ví dụ 2: Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m: mx² - 2(m - 2)x + m - 3 = 0 (*)

° Lời giải:

• TH1: Nếu m = 0 thay vào (*) ta được:  

• TH2: m ≠ 0 ta tính biệt số Δ' như sau:

- Nếu : Phương trình (*) vô nghiệm

- Nếu : Phương trình (*) có nghiệm kép: 

- Nếu : Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

¤ Kết luận:

 m > 4: Phương trình (*) vô nghiệm

 m = 0: Phương trình (*) có nghiệm đơn x = 3/4.

 m = 4: Phương trình (*) có nghiệm kép x = 1/2.

 m < 4 và m ≠ 0: Phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt:

* Nhận xét: Như vậy các em cần lưu ý khi tham số nằm ở phần hệ số của ẩn bậc 2 thì ta phải xét thêm trường hợp hệ số ẩn bậc 2 bằng 0 trước khi tính biệt số Δ (Δ').

- Thông thường, phương trình bậc 2 có chứa tham số thường đi kèm với nhiều bài toán phụ như: Tìm m để phương trình bậc 2 (ax² + bx + c = 0) có nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó.

* Với  thì PT bậc 2:

- Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

- Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

- Nghiệm duy nhất (nghiệm kép) ⇔ Δ = 0

- Có 2 nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0

- Có 2 nghiệm cùng dấu

- Có 2 nghiệm trái dấu 

- Có 2 nghiệm dương (x₁, x₂>0) 

- Có 2 nghiệm âm (x₁, x₂<0) 

- Có 2 nghiệm phân biệt đối nhau 

- Có 2 nghiệm phân biệt là nghịch đảo của nhau 

- Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn 

- Có 2 nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 

• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho x₁ = px₂ (với p ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Tìm điều kiện để pt có 2 nghiện phân biệt

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tìm:  

 Bước 3: Kết hợp (1) và giả thiết giải hệ: 

 Bước 4: Thay x₁, x₂ vào (2) ta tìm được giá trị tham số.

* Ví dụ (Bài 8 trang 63 SGK Đại số 10): Cho phương trình 3x² - 2(m + 1)x + 3m - 5 = 0

Xác định m để phương trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó.

° Lời giải:

- Ta có : 3x² – 2(m + 1)x + 3m – 5 = 0 (1)

- PT (1) có hai nghiệm phân biệt khi Δ’ > 0

 ⇔ [-(m + 1)]² – 3.(3m – 5) > 0

 ⇔ (m + 1)² – 9m +15 > 0

 ⇔ m² + 2m + 1 – 9m + 15 > 0

 ⇔ m² – 7m + 16 > 0

 ⇔ (m – 7/2)² + 15/4 > 0 (∀m ∈ R).

⇒ Phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt. Gọi hai nghiệm đó là x₁; x₂ khi đó theo định lý Vi–et ta có:

 (1); và  (2)

- Theo bài toán yêu cầu PT có một nghiệm gấp ba nghiệm kia, giả sử x₂ = 3.x₁, khi đó thay vào (1) ta có: 

Thay x₁, x₂ vào (2) ta được: 

* TH1: Với m = 3, PT(1) trở thành 3x² – 8x + 4 = 0 có hai nghiệm x₁ = 2/3 và x₂ = 2 thỏa mãn điều kiện.

* TH2: Với m = 7, PT(1) trở thành 3x² – 16x + 16 = 0 có hai nghiệm x₁ = 4/3 và x₂ = 4 thỏa mãn điều kiện.

⇒ Kết luận: m = 3 thì pt có hai nghiệm là 2/3 và 2; m = 7 thì pt có hai nghiệm 4/3 và 4.

• Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn điều kiện |x₁ - x₂| = k (với k ∈ R). Các bước làm như sau:

 Bước 1: Bình phương 2 vế phương trình: (x₁ - x₂)² = k² ⇔ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = k²

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁.x₂ thay vào biểu thức trên được kết quả.

* Ví dụ: cho phương trình x² - (2m - 1)x + m² - 1 = 0 (m là tham số).

a) Tìm điều kiện m để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt

b) Xác định giá trị của m để hai nghiệm của pt đã cho thỏa (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂.

° Lời giải:

a) Ta có: 

- Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi chỉ khi:

b) Phương trình có 2 nghiệm khi chỉ khi m<5/4.

- Áp dụng Vi-ét, ta có: 

- Theo bài ra: (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂

 [khai triển hằng đẳng thức và thêm bớt 2x₁x₂]

 ⇔ (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = x₁ - 3x₂ [Nhóm lại số hạng]

 ⇔ (2m - 1)² - 4(m² - 1) = x₁ - 3x₂ [thay hệ thức Vi-ét vào]

 ⇔ x₁ - 3x₂ = 5 - 4m (**)

- Từ pt thứ nhất trong hệ (*) với (**) ta có hệ pt:

- Mặt khác, lại có: x₁x₂ = m² - 1 

- Đối chiếu với điều kiện m<5/4 thấy m = 1 và m = -1 đều thỏa mãn (x₁ - x₂)² = x₁ - 3x₂.

⇒ Kết luận: Với m = 1 hoặc m = -1 hì pt đã cho có 2 nghiệm thỏa mãn.

• Hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m;

 Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

 Bước 2:  Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁.x₂ 

 Bước 3: Biến đổi kết quả để không phụ thuộc tham số (không còn tham số)

* Ví dụ: Cho phương trình x² - 2(m - 1)x + m - 3 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Tìm một hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt đã cho mà không phụ thuộc vào m.

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của  (với x₁, x₂ là nghiệm của pt đã cho)

° Lời giải:

a) Ta có: 

- Vậy phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

  (không phụ thuộc vào m).

c) Ta có:  

- Do đó:  dấu "=" xảy ra khi 

⇒ Kết luận: P_min = 15/4 khi m = 5/4.

• So sánh nghiệm của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:

 Bước 1: Tìm điều kiện phương trình có nghiệm (Δ ≥ 0).

 Bước 2: Áp dụng Vi-ét tính x₁ + x₂ và x₁.x₂ 

 +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm lớn hơn α (x₁ > x₂ > α)

 Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

 +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có 2 nghiệm nhỏ hơn α (x₁ < x₂ < α)

  Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

  +) Với bài toán: Tìm m để phương trình có nghiệm sao cho x₁ < α < x₂

  Thay biểu thức Vi-ét vào hệ để tìm m

* Ví dụ: Cho phương trình x² -2(m - 1)x + 2m - 5 = 0 (m là tham số)

a) CMR phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa mãn x₁ < 1 < x₂.

° Lời giải:

a) Ta có: 

 Vậy PT luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Theo Vi-ét ta có: 

 Theo yêu cầu bài toán thì x₁ < 1 < x₂ 

 Thay (*) và (**) ta được: (2m - 5) - (2m - 2) + 1 < 0

 ⇔ 0.m - 2 < 0 (đúng với mọi m).

⇒ Kết luận: Vậy với mọi m thì pt trên có 2 nghiệm x₁, x₂ thỏa  x₁ < 1 < x₂.