Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn - Toán lớp 10

Vậy chi tiết cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn như thế nào? chúng ta cùng tìm hiểu chi tiết qua bài viết dưới đây. Đồng thời vận dụng giải một số phương trình chứa ẩn trong dấu căn thức để rèn kỹ năng giải toán dạng này.

» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn cực hay

° Cách giải phương trình chứa ẩn dưới dấu căn (pt quy về pt bậc 2)

- Sử dụng phương pháp: Bình phương hai vế (nâng lên lũy thừa). Phép biến đổi là hệ quả nên khi tìm ra x, cần thay lại phương trình đã cho kiểm tra nghiệm.

- Hoặc sử dụng các phép biến đổi tương đương sau:

 ;  

- Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ biến đổi đưa về phương trình bậc 2

- Có thể đưa về pt chứa dấu trị tuyệt đối, phương trình tích,...

° Vận dụng giải một số bài tập, ví dụ về phương trình chứa ẩn dưới dấu căn

* Bài tập 1 (Bài 7 trang 63 SGK Đại số 10): Giải các phương trình

a)     b)

c)   d)

° Lời giải Bài 7 trang 63 SGK Đại số 10:

a) (1)

* Cách 1: Sử dụng phương pháp nâng bậc.

- Điều kiện xác định: 5x + 6 ≥ 0 ⇔ x ≥ -6/5. Ta có

 (1) ⇒ 5x + 6 = (x – 6)² [Bình phương 2 vế]

 ⇔ x² – 17x + 30 = 0

 Có: Δ  = (-17)² - 4.30 = 49 > 0 pt có 2 nghiệm: x₁ = 15 ; x₂ = 2.

- Đối chiếu điều kiện xác định ta thấy x₁, x₂ thỏa ĐKXĐ

- Thử lại: x = 15 thỏa nghiệm của (1); x = 2 không phải là nghiệm của (1).

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 15.

* Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm x = 15.

b) (2)

- Điều kiện xác định: 

- Thử lại thấy x = 2 không phải nghiệm của (2); x = -1 là nghiệm của (2).

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = -1.

c) (3)

- Điều kiện xác định: 2x² + 5 ≥ 0 (luôn đúng). Ta có:

 (3) ⇒ 2x² + 5 = (x + 2)² (bình phương 2 vế)

 ⇔ 2x² + 5 = x² + 4x + 4

- Thử lại thấy chỉ có x = 2 + √3 là nghiệm của (3)

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 2 + √3.

d) (4)

- Tập xác định: D=R (vì 4x² + 2x + 10 >0 với mọi x).

 (4) ⇒ 4x² + 2x + 10 = (3x + 1)²

 ⇔ 4x² + 2x + 10 = 9x² + 6x + 1

 ⇔ 5x² + 4x – 9 = 0

 ⇔ x = 1 hoặc x = –9/5

- Thử lại thấy chỉ có x = 1 là nghiệm của phương trình (4).

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 1.

» Đừng bỏ lỡ: Cách giải phương trình bậc 2 chứa ẩn dưới dấu giá trị tuyệt đối cực hay 

* Bài tập 2: Giải các phương trình

a)    b)

c)   d)

° Lời giải:

a) (1)

* Cách 1: Sử dụng phương pháp nâng bậc.

- Điều kiện xác định: 4 + 2x - x² ≥ 0. Ta có:

 (bình phương 2 vế)

- Đối chiếu điều kiện xác ta thấy x = 0 và x = 3 đều thỏa ĐKXĐ.

- Thử lại nghiệm ta thấy chỉ có x = 3 là nghiệm pt.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

* Cách 2: Sử dụng phép biến đổi tương đương.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

b) (2)

- Điều kiện xác định: 2x + 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ -3/2.

  (bình phương 2 vế)

- Đối chiếu với điều kiện xác định x = -1 và x = 3 thỏa ĐKXĐ

- Thử lại nghiệm ta thấy chỉ có x = 3 là nghiệm pt.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 3.

c) (3)

- Điều kiện xác định: 25 - x² ≥ 0 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5.

 (3) ⇒ 25 - x² = (x - 1)² (bình phương 2 vế)

 ⇔ 25 - x² = x² - 2x + 1

 ⇔ 2x² - 2x - 24 = 0

 ⇔ x = 4 hoặc x = -3

- Đối chiếu với điều kiện xác định x = -3 và x = 4 thỏa ĐKXĐ

- Thử lại nghiệm chỉ có x = 4 thỏa.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 4.

d) (4)

- Điều kiện xác định: x + 4 ≥ 0; 1 - x ≥ 0; 1 - 2x ≥ 0 ⇔ -4 ≤ x ≤ 1/2.

- Đối chiếu với điều kiện xác định x = 0 và x = -7/2 thỏa ĐKXĐ

- Thử lại nghiệm chỉ có x = 0 thỏa.

¤ Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

* Lưu ý: - Khi bình phương hai vế có thể xuất hiện thêm nghiệm (gọi là nghiệm ngoại lai), ta cần thử lại nghiệm sau khi giải phương trình này.

- Đặc biệt, với phương trình dạng  ta chỉ có thể bình phương 2 vế để giải bài toán tương đương khi 2 vế cùng dương (cách này không cần thử lại nghiệm).

* Bài tập 3: Giải phương trình:  (*)

° Lời giải:

- Để giải phương trình này, ta có thể giải bằng các cách như sau:

¤ Cách giải 1:

- Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm x = 8.

¤ Cách giải 2: 

- Ta đặt ẩn phụ như sau:

 Đặt  (điều kiện t ≥ 0) ⇒ t² = x + 1 ⇒ x = t² - 1

 Phương trình đã cho (*) trở thành:

 t² - 1 - t - 5 = 0 ⇔ t² - t - 6 = 0

 ⇔ t = -2(loại) hoặc t = 3(nhận)

- Với 

- Kết luận: Phương trình có 1 nghiệm x = 8.