Bài tập về Dấu của nhị thức bậc nhất, Bất phương trình bậc nhất - Toán lớp 10

Tuy nhiên, để các em dễ dàng ghi nhớ và giải các bài tập về bất phương trình bậc nhất, hay các bài tập vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất một cách nhuần nhuyễn, chúng ta cùng hệ thống lại một số dạng bài tập về nội dung này, đặc biệt là dạng bài tập biện luận, có dấu trị tuyệt đối và căn thức.

» Đừng bỏ lỡ: Bài tập xét dấu của tam thức bậc 2 bất phương trình bậc 2 cực hay

I. Kiến thức cần nhớ

1. Bất phương trình ẩn x

- Bất phương trình ẩn x là những bất phương trình có dạng:

 f(x) < g(x);  (1)

 f(x) > g(x);  (2)

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

- Bất phương trình bậc nhất một ẩn có dạng:

 ax + b < 0   (3)

 ax + b > 0   (4)

 ax + b ≤ 0   (5)

 ax + b ≥ 0   (6)

- Tập nghiệm: Xét ax + b < 0

 Nếu a > 0: 

 Nếu a < 0: 

3. Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b

- Ta có bảng xét dấu như sau:

4. Hệ bất phương trình bậc nhất

¤ Gọi S₁ và S₂ là tập nghiệm của bất phương trình (1): ax + b < 0 và (2): ax + b > 0.

◊ (1) và (2) có nghiệm ⇔ S₁ ∩ S₂ ≠ Ø

◊ (1) và (2) vô nghiệm ⇔ S₁ ∩ S₂ = Ø

◊ (1) tương đương (2) ⇔ S₁ = S₂

◊ (2) là hệ quả của (1) ⇔ S₂ ⊂ S₁

II. Bài tập vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất, bất phương trình bậc nhất

° Dạng 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

* Phương pháp:

- Có: ax + b < 0 ⇔ ax < -b, xét các trường hợp:

 ♦ Nếu a > 0: 

 ♦ Nếu a < 0: 

 ♦ Nếu a = 0: 0x < -b nếu:

   ◊ b ≥ 0: S = Ø.

   ◊ b ≤ 0: S = R.

* Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất: m²(x - 2) > x - 2m. (*)

° Lời giải:

- Ta có: (*) ⇔ m²x - 2m² > x - 2m

 ⇔ m²x - x > 2m² - 2m

 ⇔ (m² - 1)x > 2m(m - 1)  (**)

- Trường hợp 1: Nếu m² - 1 = 0  ⇔ m = 1 hoặc m = -1

  Nếu m = 1 thay vào (**) ta được: 0x > 0 (vô nghiệm)

  Nếu m = -1 thay vào (**) ta được: 0x > 4 (vô nghiệm)

- Trường hợp 2: Nếu m² - 1 > 0 ⇔ m > 1 hoặc m < -1

  Khi đó từ (**) ta có: 

- Trường hợp 3: Nếu m² - 1 < 0 ⇔ -1 < m < 1

  Khi đó từ (**) ta có: 

- Kết luận: m = ±1 thì bất phương trình có tập nghiệm: S = Ø;

 -1<m<1 thì 

 m<-1 hoặc m > 1 thì 

* Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: 

° Lời giải:

- Ta có:  (**)

- Lập bảng xét dấu của nhị thức bậc nhất này như sau:

- Từ bảng xét dấu nhị thức bậc nhất ở trên ta có:

 ♦ m = 3 từ (**) ta có: 

 ♦ m <0 hoặc m > 3 từ (**) ta có: 

 ♦ 0 < m < 3 từ (**) ta có: 

- Kết luận: Với m = 3 thì tập nghiệm là S = R

 0<m<3 thì

 m<0 hoặc m > 3 thì

° Dạng 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất để giải biện luận bất phương trình bậc nhất

* Phương pháp:

- Vận dụng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất

* Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình (x+m)(x-m+2)≥0 (*)

° Lời giải:

- Xét hàm: f(x) = (x+m)(x-m+2)

- Nếu f(x) = 0 ⇒ x = -m hoặc x = m - 2

♠ Trường hợp 1: m - 2 > -m ⇒ m > 1 ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu trên ta có tập nghiệm: S = (-∞;-m] ∪ [m-2;+∞)

♠ Trường hợp 2: m - 2 = -m ⇒ m = 1 ta có: S = R

♠ Trường hợp 3: m - 2 < -m ⇒ m < 1 ta có bảng xét dấu:

- Từ bảng xét dấu trên ta có tập nghiệm: S = (-∞;m-2] ∪ [-m;+∞)

* Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình 

° Lời giải:

- Bất phương trình được viết lại như sau:  (*)

- Xét hàm: ;  

♠ Trường hợp 1:  m = 2 thì từ (*) ta có: 

♠ Trường hợp 2:  m > 2 thì từ (*) ta có: 

- Ta có bảng xét dấu như sau:

- Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm: 1 ≤ x < m.

° Dạng 3: Bất phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

* Phương pháp: - Vận dụng các tính chất:

♦ 

♦ 

* Ví dụ 1: Giải bất phương trình: |1 - x| + |x - 2| > |x - 4| (*)

° Lời giải:

- Ta lập bảng xét dấu như sau:

♦ Từ bảng xét dấu ta có:

- TH1: x < 1 thì từ (*) ta được: x < -1 (thỏa).

- TH2: 1 ≤ x ≤ 2 từ (*) ta được:x > 3 (không thỏa).

- TH3: 2 < x < 4 từ (*) ta được: x >7/3 suy ra (7/3) < x <4.

- TH4: x ≥ 4 từ (*) ta được: x > -1 suy ra x ≥ 4.

♦ Kết luận, tập nghiệm của (*) là: 

* Ví dụ 2: Giải bất phương trình: |mx - 1| < 2m - 2. (*)

° Lời giải:

- Từ tính chất của trị tuyệt đối, ta có:

 |mx - 1| < 2m - 2 ⇔ mx < 2m - 1 hoặc mx > 3 - 2m.  (**)

- TH1: m = 0: từ (**) ta được:  (vô nghiệm).

- TH2: m > 0: từ (**) ta được: 

- Xét dấu:  ta có bảng sau:

 0<m<1 thì ta có  (vô nghiệm)

 m=1 thì thay vào (**) được x < 1 và x > 1 (vô nghiệm).

 m>1 thì ta có 

- TH3: m<0 từ (**) ta được: 

Do m<0 nên  (vô nghiệm)

♦ Kết luận: m ≤ 1: S = Ø

 m>1: 

III. Một số Bài tập về bất phương trình, dấu của nhị thức bậc nhất.

* Bài tập 1: Giải các bất phương trình

a) |x| - |x - 2| ≤ 2|x - 4|

b) 

* Bài tập 2: Giải và biện luận bất phương trình: 

* Bài tập 3: Giải và biện luận bất phương trình: 

Đối với bài tập về xét dấu nhị thức còn có thêm dạng bài tập xét dấu của tích hoặc thương nhiều nhị thức bậc nhất (gần giống dạng 2 và 3 ở trên) tuy nhiên nội dung này chúng ta sẽ đề cập chi tiết hơn ở phần bài tập xét dấu tam thức bậc 2.

Với việc vận dụng việc xét dấu của nhị thức bậc nhất để giải các bài tập về bất phương trình bậc nhất ở trên cho thấy sự chặt chẽ trong cách giải, qua đó việc giải các bài toán thuộc loại tương đối khó là biện luận cũng được rõ ràng và dễ hiểu hơn.