Bài tập về Dấu của nhị thức bậc nhất, Bất phương trình bậc nhất - Toán lớp 10

Bài viết này sẽ giúp các em tổng hợp lý thuyết và các dạng bài tập tự luyện sát với chương trình Toán lớp 10.

I. Kiến thức cần nhớ về nhị thức bậc nhất

1. Định nghĩa bất phương trình ẩn x

Bất phương trình ẩn $x$ là những biểu thức có dạng:

• $f(x) < g(x)$ (1)

• $f(x) > g(x)$ (2)

2. Bất phương trình bậc nhất một ẩn

Dạng tổng quát: $ax + b < 0$, $ax + b > 0$, $ax + b \le 0$ hoặc $ax + b \ge 0$.

Tập nghiệm của $ax + b < 0$:

• Nếu $a > 0$: $S = (-\infty; -\frac{b}{a})$

• Nếu $a < 0$: $S = (-\frac{b}{a}; +\infty)$

3. Quy tắc xét dấu nhị thức bậc nhất $f(x) = ax + b$

Để xét dấu, ta xác định nghiệm $x = -\frac{b}{a}$. Quy tắc ghi nhớ nhanh: "Phải cùng, trái khác" (Bên phải nghiệm cùng dấu với hệ số $a$, bên trái nghiệm trái dấu với $a$).

4. Hệ bất phương trình bậc nhất

Gọi $S_1$ và $S_2$ lần lượt là tập nghiệm của hai bất phương trình trong hệ (ví dụ: (1) và (2)).

• Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow S_1 \cap S_2 \neq \emptyset$

• Hệ vô nghiệm $\Leftrightarrow S_1 \cap S_2 = \emptyset$

• Bất phương trình (1) tương đương (2) $\Leftrightarrow S_1 = S_2$

• Bất phương trình (2) là hệ quả của (1) $\Leftrightarrow S_1 \subset S_2$

II. Các dạng bài tập vận dụng dấu của nhị thức bậc nhất

Dạng 1: Giải và biện luận bất phương trình bậc nhất

*** Phương pháp:

Biến đổi về dạng $ax + b < 0 \Leftrightarrow ax < -b$, xét các trường hợp:

• Nếu $a > 0$: $S = \left( -\infty ; -\frac{b}{a} \right)$

• Nếu $a < 0$: $S = \left( -\frac{b}{a} ; +\infty \right)$

• Nếu $a = 0$: Ta có $0x < -b$. Xét tiếp:

  • Nếu $b \ge 0$: $S = \emptyset$

  • Nếu $b < 0$: $S = \mathbb{R}$

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình: $m^2(x - 2) > x - 2m$ (*)

° Lời giải: Ta có: (*) $\Leftrightarrow m^2x - 2m^2 > x - 2m$

$\Leftrightarrow m^2x - x > 2m^2 - 2m$

$\Leftrightarrow (m^2 - 1)x > 2m(m - 1)$ ()

• Trường hợp 1: Nếu $m^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$ hoặc $m = -1$

  • Nếu $m = 1$, thay vào () ta được: $0x > 0$ (vô nghiệm)

  • Nếu $m = -1$, thay vào () ta được: $0x > 4$ (vô nghiệm)

• Trường hợp 2: Nếu $m^2 - 1 > 0 \Leftrightarrow m > 1$ hoặc $m < -1$

  Khi đó từ (), ta có: $(m+1)x > 2m \Leftrightarrow x > \frac{2m}{m+1}$

• Trường hợp 3: Nếu $m^2 - 1 < 0 \Leftrightarrow -1 < m < 1$

  Khi đó từ (), ta có: $(m+1)x < 2m \Leftrightarrow x < \frac{2m}{m+1}$

Kết luận:

• $m = \pm 1$: $S = \emptyset$

• $-1 < m < 1$: $S = \left( -\infty ; \frac{2m}{m+1} \right)$

• $m < -1$ hoặc $m > 1$: $S = \left( \frac{2m}{m+1} ; +\infty \right)$

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình: $\frac{x-m}{2m} + \frac{x-1}{m} \le \frac{x+1}{2}$ (*)

° Lời giải: Ta có: (*) $\Leftrightarrow \frac{3-m}{2m}x \le \frac{m+1}{m} \quad (m \neq 0)$ ()

Từ bảng xét dấu nhị thức bậc nhất của biểu thức này, ta có:

• $m = 3$: Từ () ta có $0x \le \frac{4}{3}, \forall x$

• $m < 0$ hoặc $m > 3$: Từ () ta có $x \ge \frac{2(m+1)}{3-m}$

• $0 < m < 3$: Từ () ta có $x \le \frac{2(m+1)}{3-m}$

Kết luận:

• $m = 3$: $S = \mathbb{R}$

• $0 < m < 3$: $S = \left( -\infty ; \frac{2(m+1)}{3-m} \right]$

• $m < 0$ hoặc $m > 3$: $S = \left[ \frac{2(m+1)}{3-m} ; +\infty \right)$

Dạng 2: Xét dấu các nhị thức bậc nhất để giải biện luận

*** Phương pháp: Vận dụng tính chất dấu của nhị thức bậc nhất để lập bảng xét dấu.

Ví dụ 1: Giải và biện luận bất phương trình $(x+m)(x-m+2) \ge 0$ (*)

° Lời giải:

Xét hàm: $f(x) = (x+m)(x-m+2)$. Nếu $f(x) = 0 \Rightarrow x = -m$ hoặc $x = m - 2$.

• Trường hợp 1: $m - 2 > -m \Rightarrow m > 1$.

  

  Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm: $S = (-\infty; -m] \cup [m-2; +\infty)$

• Trường hợp 2: $m - 2 = -m \Rightarrow m = 1$. Ta có: $S = \mathbb{R}$

• Trường hợp 3: $m - 2 < -m \Rightarrow m < 1$.

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm: $S = (-\infty; m-2] \cup [-m; +\infty)$

Ví dụ 2: Giải và biện luận bất phương trình $\frac{(m-2)x-m+2}{x-m} \le 0$

° Lời giải:

Bất phương trình được viết lại: $\frac{(m-2)(x-1)}{x-m} \le 0$ (*)

Xét hàm: $f(x) = \frac{(m-2)(x-1)}{x-m} \quad (x \neq m)$

• Trường hợp 1: $m = 2$, từ (*) ta có: $\left( \frac{x-1}{x-2} \right).0 \le 0, \forall x \neq 2$

• Trường hợp 2: $m > 2$, từ (*) ta có: $\frac{x-1}{x-m} \le 0$.

  Lập bảng xét dấu: 

Từ bảng xét dấu ta có tập nghiệm: $1 \le x < m$.

Dạng 3: Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

*** Phương pháp: Vận dụng các tính chất:

• $|A| \le B \Leftrightarrow -B \le A \le B$

• $|A| \ge B \Leftrightarrow \left[ \begin{matrix} A \le -B \\ A \ge B \end{matrix} \right.$

Ví dụ 1: Giải bất phương trình: $|1 - x| + |x - 2| > |x - 4|$ (*)

° Lời giải:

Ta lập bảng xét dấu để phá bỏ trị tuyệt đối. 

Từ đó ta xét các khoảng:

• TH1: $x < 1$, từ (*) ta được: $x < -1$ (Thỏa mãn).

• TH2: $1 \le x \le 2$, từ (*) ta được: $x > 3$ (Không thỏa).

• TH3: $2 < x < 4$, từ (*) ta được: $x > \frac{7}{3} \Rightarrow \frac{7}{3} < x < 4$.

• TH4: $x \ge 4$, từ (*) ta được: $x > -1 \Rightarrow x \ge 4$.

Kết luận: Tập nghiệm của (*) là $S = (-\infty ; -1) \cup \left( \frac{7}{3} ; +\infty \right)$

Ví dụ 2: Giải bất phương trình: $|mx - 1| < 2m - 2$ (*)

° Lời giải:

Từ tính chất của trị tuyệt đối, ta có:

$|mx - 1| < 2m - 2 \Leftrightarrow 1 - 2m < mx - 1 < 2m - 2 \Leftrightarrow mx < 2m - 1$ hoặc $mx > 3 - 2m$ ()

• TH1: $m = 0$, từ (**) ta được: $\left\{ \begin{matrix} 0.x < -1 \\ 0.x > 3 \end{matrix} \right.$ (Vô nghiệm)

• TH2: $m > 0$, từ (**) ta được: $\left\{ \begin{matrix} x < \frac{2m-1}{m} \\ x > \frac{3-2m}{m} \end{matrix} \right.$

Xét dấu: $\frac{2m-1}{m} - \frac{3-2m}{m} = \frac{4m-4}{m}$ ta có bảng sau:

Nếu $0 < m < 1 \Rightarrow \frac{2m-1}{m} < \frac{3-2m}{m}$ (Vô nghiệm)

Nếu $m = 1 \Rightarrow x < 1$ và $x > 1$ (Vô nghiệm)

Nếu $m > 1 \Rightarrow \frac{3-2m}{m} < x < \frac{2m-1}{m}$

• TH3: $m < 0$, từ (**) ta được: $\left\{ \begin{matrix} x > \frac{2m-1}{m} \\ x < \frac{3-2m}{m} \end{matrix} \right.$ Do $m < 0$ nên $\frac{3-2m}{m} < \frac{2m-1}{m}$ (Vô nghiệm)

Kết luận:

• $m \le 1$: $S = \emptyset$

• $m > 1$: $S = \left( \frac{3-2m}{m} ; \frac{2m-1}{m} \right)$

III. Một số Bài tập về bất phương trình, dấu của nhị thức bậc nhất

Bài tập 1: Giải các bất phương trình:

a) $|x| - |x - 2| \le 2|x - 4|$

b) $\frac{1}{|x-1|(x-3)} > -1$

Bài tập 2: Giải và biện luận bất phương trình:

$\sqrt{x-m}(2x-m+2) \le 0$

Bài tập 3: Giải và biện luận bất phương trình:

$\sqrt{x-1}(x-2m) - \frac{x^2-mx+m^2-3}{\sqrt{x-1}} > 0$

Đối với bài tập về xét dấu nhị thức còn có thêm dạng bài tập xét dấu của tích hoặc thương nhiều nhị thức bậc nhất (gần giống dạng 2 và 3 ở trên), tuy nhiên nội dung này chúng ta sẽ đề cập chi tiết hơn ở phần bài tập xét dấu tam thức bậc 2 (có link cuối bài viết).

Với việc vận dụng việc xét dấu của nhị thức bậc nhất để giải các bài tập về bất phương trình bậc nhất ở trên cho thấy sự chặt chẽ trong cách giải, qua đó việc giải các bài toán thuộc loại tương đối khó như bài toán biện luận cũng được rõ ràng và dễ hiểu hơn.