Bài 9.8 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh tam giác đồng dạng (c.g.c)

Bài 9.8 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho tam giác ABC có AB = 12 cm, AC = 15 cm. Trên các tia AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = 10 cm, AN = 8 cm. Chứng minh rằng ΔABC ∽ ΔANM

Phân tích bài toán

Để chứng minh hai tam giác đồng dạng, chúng ta có 3 trường hợp cơ bản: c.c.c, c.g.c và g.g.

Trong bài toán này:

• Hai tam giác $\Delta ABC$ và $\Delta ANM$ có chung góc $A$.

• Đề bài đã cho độ dài của các cạnh tạo nên góc $A$ ở cả hai tam giác ($AB, AC$ và $AN, AM$).

  => Hướng giải: Kiểm tra tỉ số giữa các cặp cạnh tương ứng ôm lấy góc $A$ để chứng minh đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).

Giải bài 9.8 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ như sau:

Bước 1: Tính tỉ số các cạnh tương ứng

Xét hai tam giác $ABC$ và $ANM$, ta lập tỉ số giữa các cạnh tương ứng xuất phát từ đỉnh $A$:

• Tỉ số cặp cạnh thứ nhất:

  $$\frac{AN}{AB} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}$$

• Tỉ số cặp cạnh thứ hai:

  $$\frac{AM}{AC} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$$

Từ kết quả trên, ta thấy:

Bước 2: Xét hai tam giác và kết luận

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta ANM$ có:

• $\widehat{A}$ là góc chung.

• $\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC}$ (chứng minh trên).

Do đó, $\Delta ABC \backsim \Delta ANM$ theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c.g.c).

Tổng kết kiến thức

• Trường hợp đồng dạng c.g.c: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của tam giác kia và hai góc tạo bởi các cặp cạnh đó bằng nhau, thì hai tam giác đó đồng dạng.

• Lưu ý quan trọng: Thứ tự các đỉnh trong ký hiệu đồng dạng phải tương ứng với tỉ số cạnh. Trong bài này, $N$ tương ứng với $B$ và $M$ tương ứng với $C$ vì $\frac{AN}{AB} = \frac{AM}{AC}$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Lập sai tỉ số: Nhiều bạn lấy $\frac{AM}{AB} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ và $\frac{AN}{AC} = \frac{8}{15}$, sau đó thấy chúng không bằng nhau và kết luận tam giác không đồng dạng.

  • Mẹo: Hãy thử đổi vị trí các cạnh trong tỉ số để tìm cặp tương ứng đúng.

• Viết sai thứ tự đỉnh: Viết $\Delta ABC \backsim \Delta AMN$ là sai. Phải viết là $\Delta ABC \backsim \Delta ANM$ (vì $AN$ tương ứng với $AB$).

• Quên điều kiện góc xen giữa: Mặc dù bài này góc $A$ chung là hiển nhiên, nhưng trong các bài khác, bạn cần đảm bảo góc bằng nhau phải nằm giữa hai cặp cạnh tỉ lệ.

Mẹo giải nhanh

Để xác định đúng thứ tự đỉnh đồng dạng:

1. Sắp xếp các cạnh của $\Delta ABC$ từ nhỏ đến lớn: $12, 15$.

2. Sắp xếp các cạnh của $\Delta ANM$ từ nhỏ đến lớn: $8, 10$.

3. Lập tỉ số theo thứ tự đó: $8/12$ và $10/15$. Nếu chúng bằng nhau, bạn đã tìm đúng cặp đỉnh tương ứng!