Bài 9.10 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Tính độ cao giao điểm hai sợi dây

Bài 9.10 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25). Hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán ứng dụng thực tế của tam giác đồng dạng và định lý Ta-lét.

• Giả thiết: Hai cột $AB$ và $CD$ vuông góc với mặt đất $BC$, do đó chúng song song với nhau. Độ cao $h$ (đoạn $EF$) cũng vuông góc với mặt đất nên $EF // AB // CD$.

• Mấu chốt: Sử dụng tỉ số đồng dạng của các cặp tam giác để thiết lập mối quan hệ giữa các cạnh, từ đó tìm ra giá trị của $h$.

Giải Bài 9.10 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Kí hiệu các điểm như hình vẽ sau

Kí hiệu các điểm như hình vẽ dưới đây:

• Cột thứ nhất: $AB = 3$ m.

• Cột thứ hai: $CD = 2$ m.

• Giao điểm hai sợi dây là $E$, độ cao cần tìm là $EF = h$.

Bước 1: Xét các cặp tam giác đồng dạng

Vì $AB, EF, CD$ cùng vuông góc với mặt phẳng nằm ngang $BC$ nên $AB // EF // CD$.

• Xét $\Delta ABC$ có $EF // AB$, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:

  $$\frac{EF}{AB} = \frac{CF}{CB} \quad (1)$$

• Xét $\Delta BCD$ có $EF // CD$, theo hệ quả định lý Ta-lét ta có:

  $$\frac{EF}{CD} = \frac{BF}{BC} \quad (2)$$

Bước 2: Thiết lập phương trình

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

Vì $CF + BF = BC$ nên vế phải bằng $1$. Ta có phương trình:

Bước 3: Giải phương trình tìm h

Kết luận: Độ cao $h$ của giao điểm so với mặt đất là 1,2 m.

Tổng kết kiến thức

• Công thức tổng quát: Với hai cột có chiều cao $a$ và $b$, độ cao giao điểm $h$ luôn được tính bằng công thức:

  $$\frac{1}{h} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \Rightarrow h = \frac{a \cdot b}{a + b}$$

• Tính chất đặc biệt: Độ cao $h$ không phụ thuộc vào khoảng cách giữa hai chiếc cột. Dù hai cột đặt xa nhau hay gần nhau, giao điểm của hai sợi dây nối đỉnh - chân vẫn luôn ở cùng một độ cao $h$.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn tỉ số: Học sinh dễ viết ngược tỉ số $\frac{EF}{AB} = \frac{BF}{BC}$ (đúng phải là $\frac{CF}{BC}$).

• Không chứng minh song song: Quên giải thích vì sao các cột song song với nhau (cùng vuông góc với mặt đất) dẫn đến bài làm thiếu chặt chẽ.

• Lỗi tính toán: Nhầm lẫn khi quy đồng mẫu số hoặc nghịch đảo phân số ở bước cuối.

Mẹo giải nhanh

Trong các bài thi trắc nghiệm, bạn có thể áp dụng ngay "công thức tích chia tổng" để tìm kết quả trong vài giây: