Bài 9.9 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh tam giác đồng dạng và hệ thức liên quan

Bài 9.9 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho ∠ABN = ∠ACM

a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM.

b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB . IN = IC . IM.

Phân tích bài toán

• Câu a: Sử dụng trường hợp đồng dạng góc - góc (g.g). Hai tam giác $ABN$ và $ACM$ đã có sẵn một cặp góc bằng nhau theo giả thiết và một góc chung tại đỉnh $A$.

• Câu b: Để chứng minh đẳng thức tích $IB \cdot IN = IC \cdot IM$, chúng ta thường đưa về chứng minh tỉ số đồng dạng: $\frac{IB}{IC} = \frac{IM}{IN}$. Tỉ số này gợi ý việc xét hai tam giác đồng dạng là $\Delta IBM$ và $\Delta ICN$.

Giải bài 9.9 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình vẽ minh hoạ sau:

a) Chứng minh $\Delta ABN \backsim \Delta ACM$

Xét $\Delta ABN$ và $\Delta ACM$ có:

• $\widehat{A}$ là góc chung.

• $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$ (theo giả thiết).

Do đó, $\Delta ABN \backsim \Delta ACM$ theo trường hợp góc - góc (g.g).

b) Chứng minh $IB \cdot IN = IC \cdot IM$

Từ kết quả $\Delta ABN \backsim \Delta ACM$ ở câu a, ta suy ra các cặp góc tương ứng bằng nhau:

Mà:

• $\widehat{ANB} + \widehat{INC} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

• $\widehat{AMC} + \widehat{IMB} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

  Suy ra: $\widehat{INC} = \widehat{IMB}$.

Xét $\Delta IBM$ và $\Delta ICN$ có:

• $\widehat{IBM} = \widehat{ICN}$ (theo giả thiết $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$).

• $\widehat{IMB} = \widehat{INC}$ (chứng minh trên).

Do đó, $\Delta IBM \backsim \Delta ICN$ (g.g).

Từ các cạnh tương ứng tỉ lệ, ta có:

Nhân chéo hai vế, ta được: $IB \cdot IN = IC \cdot IM$ (Điều phải chứng minh).

Tổng kết kiến thức

• Trường hợp đồng dạng g.g: Là phương pháp phổ biến nhất để chứng minh hai tam giác đồng dạng trong các bài toán về góc.

• Kỹ năng biến đổi đẳng thức: Luôn chuyển đổi đẳng thức tích về dạng tỉ lệ thức để tìm ra cặp tam giác đồng dạng cần xét.

• Tính chất góc: Sử dụng linh hoạt tính chất các cặp góc kề bù để tìm ra sự tương quan giữa các góc trong các tam giác khác nhau.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn đỉnh tương ứng: Khi xét $\Delta IBM$ và $\Delta ICN$, nếu viết sai thứ tự đỉnh sẽ dẫn đến tỉ số cạnh bị đảo lộn, không ra được hệ thức cần chứng minh.

• Không tận dụng kết quả câu a: Câu b thường là hệ quả của câu a. Học sinh đôi khi quên mất việc suy ra các cặp góc bằng nhau từ tam giác đồng dạng trước đó để làm tiền đề cho bước tiếp theo.

• Lỗi trình bày: Quên ghi lý do (g.g) hoặc quên điều kiện kề bù khi chứng minh các góc bằng nhau.

Mẹo giải nhanh

Để chứng minh $IB \cdot IN = IC \cdot IM$, bạn có thể nhìn nhanh các điểm:

1. Bốn điểm $B, M, N, C$ tạo thành hai tam giác đối đỉnh tại $I$.

2. Nếu đề bài đã cho các góc ở "ngoài" bằng nhau ($\widehat{B}$ và $\widehat{C}$), khả năng cao là hai tam giác đối đỉnh này sẽ đồng dạng.

3. Khi đó, chỉ cần sử dụng tính chất góc ngoài hoặc kề bù là có thể kết nối được các góc còn lại của hai tam giác đó.