Bài 9.6 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Tìm độ dài cạnh tam giác đồng dạng

Bài 9.6 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho hai tam giác đồng dạng. Tam giác thứ nhất có độ dài ba cạnh là 4 cm, 8 cm và 10 cm. Tam giác thứ hai có chu vi là 33 cm. Độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai là bộ ba nào sau đây?

a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.

b) 8 cm, 16 cm, 20 cm.

c) 6 cm, 9 cm, 18 cm.

d) 8 cm, 10 cm, 15 cm.

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng hai kiến thức trọng tâm về tam giác đồng dạng:

1. Tỉ số chu vi: Tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng.

2. Tỉ số cạnh: Các cạnh tương ứng của hai tam giác đồng dạng luôn tỉ lệ với nhau.

Bài 9.6 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Đáp án đúng là: a) 6 cm, 12 cm, 15 cm.

Cách 1: Kiểm tra các phương án (Dành cho trắc nghiệm)

Một bộ ba cạnh thỏa mãn yêu cầu khi và chỉ khi nó đáp ứng đồng thời hai điều kiện:

• Điều kiện 1: Tổng độ dài ba cạnh (chu vi) phải bằng $33\text{ cm}$.

• Điều kiện 2: Bộ ba cạnh đó phải tỉ lệ với bộ ba $(4; 8; 10)$.

Xét phương án a:

• Chu vi: $6 + 12 + 15 = 33\text{ cm}$ (Thỏa mãn).

• Tỉ lệ cạnh: $\frac{4}{6} = \frac{8}{12} = \frac{10}{15} = \frac{2}{3}$ (Thỏa mãn).

  => Chọn a.

Xét các phương án còn lại:

• Phương án b: Chu vi $8 + 16 + 20 = 44 \neq 33$ (Loại).

• Phương án c: Chu vi $6 + 9 + 18 = 33$ nhưng tỉ lệ $\frac{4}{6} \neq \frac{8}{9}$ (Loại).

• Phương án d: Chu vi $8 + 10 + 15 = 33$ nhưng tỉ lệ $\frac{4}{8} \neq \frac{8}{10}$ (Loại).

Cách 2: Giải chi tiết bằng lập luận (Dành cho tự luận)

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác thứ hai lần lượt là $x, y, z$ ($x, y, z > 0$).

Vì hai tam giác đồng dạng nên các cạnh tương ứng tỉ lệ:

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau và giả thiết chu vi $x + y + z = 33$, ta có:

Từ đó suy ra:

• $x = 4 \times 1,5 = 6\text{ cm}$

• $y = 8 \times 1,5 = 12\text{ cm}$

• $z = 10 \times 1,5 = 15\text{ cm}$

Tổng kết kiến thức

• Định lý: Nếu $\Delta ABC \backsim \Delta A'B'C'$ với tỉ số $k$, thì $\frac{P_{ABC}}{P_{A'B'C'}} = k$.

• Tính chất dãy tỉ số bằng nhau: Là công cụ đắc lực để giải các bài toán chia tỉ lệ trong hình học.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Chỉ kiểm tra chu vi: Nhiều học sinh thấy tổng bằng 33 là chọn ngay mà không kiểm tra tỉ lệ cạnh (dễ nhầm sang câu c hoặc d).

• Tính toán sai tỉ số: Khi rút gọn phân số hoặc chia số thập phân dẫn đến tìm sai độ dài cạnh.

• Nhầm thứ tự cạnh: Không sắp xếp các cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn để lập tỉ số tương ứng chính xác.

Mẹo giải nhanh

1. Tính chu vi tam giác thứ nhất: $P_1 = 4 + 8 + 10 = 22\text{ cm}$.

2. Tìm tỉ số đồng dạng $k$ giữa tam giác 2 và tam giác 1: $k = \frac{P_2}{P_1} = \frac{33}{22} = 1,5$.

3. Lấy từng cạnh của tam giác 1 nhân với $1,5$ sẽ ra kết quả ngay lập tức.