Bài 9.7 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức: Tỉ số các đường trung tuyến trong tam giác đồng dạng

Bài 9.7 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA′B′C′ ∽ ΔABC.

Chứng minh rằng: \frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}

Phân tích bài toán

Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt:

1. Định nghĩa tam giác đồng dạng: Suy ra các cặp cạnh tỉ lệ và các cặp góc bằng nhau tương ứng.

2. Tính chất đường trung tuyến: Chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng bằng nhau.

3. Trường hợp đồng dạng cạnh - góc - cạnh (c.g.c): Dùng để chứng minh các tam giác nhỏ (chứa đường trung tuyến) đồng dạng với nhau.

Giải Bài 9.7 trang 90 Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ sau:

Bước 1: Khai thác giả thiết tam giác đồng dạng

Vì $\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC$ nên ta có:

• Tỉ số các cạnh tương ứng: $\frac{A'B'}{AB} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'C'}{AC}$ (1)

• Các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{B} = \widehat{B'}$, $\widehat{C} = \widehat{C'}$, $\widehat{A} = \widehat{A'}$ (2)

Bước 2: Chứng minh cặp tam giác nhỏ đồng dạng

Xét $\Delta A'B'M'$ và $\Delta ABM$ có:

• $\widehat{B'} = \widehat{B}$ (theo (2)).

• Vì $M, M'$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B'C'$ nên $BM = \frac{1}{2}BC$ và $B'M' = \frac{1}{2}B'C'$.

  Do đó: $\frac{B'M'}{BM} = \frac{\frac{1}{2}B'C'}{\frac{1}{2}BC} = \frac{B'C'}{BC}$.

  Mà $\frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB}$ (theo (1)).

  Suy ra: $\frac{B'M'}{BM} = \frac{A'B'}{AB}$.

Từ các yếu tố trên, ta có $\Delta A'B'M' \backsim \Delta ABM$ (c.g.c).

Bước 3: Tương tự cho các cặp trung tuyến còn lại

• Chứng minh tương tự đối với trung tuyến $B'N'$ và $BN$: ta có $\Delta A'B'N' \backsim \Delta ABN$

  $$\Rightarrow \frac{B'N'}{BN} = \frac{A'B'}{AB} \quad (4)$$

• Chứng minh tương tự đối với trung tuyến $C'P'$ và $CP$: ta có $\Delta A'C'P' \backsim \Delta ACP$

  $$\Rightarrow \frac{C'P'}{CP} = \frac{A'C'}{AC} \quad (5)$$

Bước 4: Kết luận

Từ (1), (3), (4) và (5), ta suy ra:

(Điều phải chứng minh).

Tổng kết kiến thức

• Định lý bổ sung: Trong hai tam giác đồng dạng, tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng bằng tỉ số đồng dạng.

• Mở rộng: Tính chất này cũng đúng đối với đường cao tương ứng và đường phân giác tương ứng của hai tam giác đồng dạng.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không chứng minh tam giác nhỏ đồng dạng: Nhiều bạn thừa nhận ngay tỉ số trung tuyến mà không qua bước chứng minh $\Delta A'B'M' \backsim \Delta ABM$.

• Nhầm lẫn đỉnh tương ứng: Khi chứng minh $\Delta A'B'N' \backsim \Delta ABN$, nếu viết sai thứ tự đỉnh sẽ dẫn đến lập tỉ số cạnh sai.

• Quên điều kiện trung điểm: Không giải thích rõ vì sao $\frac{B'M'}{BM} = \frac{B'C'}{BC}$ có thể bị trừ điểm trình bày.

Mẹo giải nhanh

Để nhớ các tính chất của tam giác đồng dạng:

1. Mọi đoạn thẳng tương ứng (cạnh, chu vi, trung tuyến, phân giác, đường cao) đều tỉ lệ với nhau theo cùng một tỉ số $k$.

2. Riêng diện tích sẽ tỉ lệ theo bình phương tỉ số đồng dạng ($k^2$).