Bài 9.7 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.7 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho AM, BN, CP là các đường trung tuyến của tam giác ABC. Cho A'M', B'N', C'P' là các đường trung tuyến của tam giác A'B'C'. Biết rằng ΔA′B′C′ ∽ ΔABC.

Chứng minh rằng: $\frac{A'M'}{AM}=\frac{B'N'}{BN}=\frac{C'P'}{CP}$

Phân tích bài toán

Để chứng minh tỉ số các đường trung tuyến bằng nhau, chúng ta cần dựa vào tính chất của hai tam giác đồng dạng:

• Tính chất cạnh: Các cạnh tương ứng tỉ lệ.

• Tính chất góc: Các góc tương ứng bằng nhau.

• Chiến thuật: Ta sẽ chứng minh các tam giác nhỏ (chứa đường trung tuyến) đồng dạng với nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh. Từ đó suy ra tỉ số các đường trung tuyến chính bằng tỉ số đồng dạng của hai tam giác lớn ban đầu.

Giải bài 9.7 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình minh hoạ sau:

Vì $\Delta A'B'C' \backsim \Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $k$, ta có:

Và các góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{B} = \widehat{B'}$; $\widehat{C} = \widehat{C'}$; $\widehat{A} = \widehat{A'}$.

Bước 1: Chứng minh $\frac{A'M'}{AM} = \frac{A'B'}{AB}$

Xét $\Delta A'B'M'$ và $\Delta ABM$ có:

• $\widehat{B'} = \widehat{B}$ (chứng minh trên).

• $\frac{B'M'}{BM} = \frac{\frac{1}{2}B'C'}{\frac{1}{2}BC} = \frac{B'C'}{BC} = \frac{A'B'}{AB}$ (do $M, M'$ là trung điểm).

  $\Rightarrow \Delta A'B'M' \backsim \Delta ABM$ (c.g.c).

  $\Rightarrow \frac{A'M'}{AM} = \frac{A'B'}{AB} \quad (2)$

Bước 2: Chứng minh tương tự cho các đường trung tuyến còn lại

• Xét $\Delta A'B'N'$ và $\Delta ABN$, ta cũng có $\Delta A'B'N' \backsim \Delta ABN$ (c.g.c).

  $\Rightarrow \frac{B'N'}{BN} = \frac{A'B'}{AB} \quad (3)$

• Xét $\Delta A'C'P'$ và $\Delta ACP$, ta có $\Delta A'C'P' \backsim \Delta ACP$ (c.g.c).

  $\Rightarrow \frac{C'P'}{CP} = \frac{A'C'}{AC} \quad (4)$

Bước 3: Kết luận

Từ (1), (2), (3) và (4), ta thấy các tỉ số này đều bằng tỉ số đồng dạng $k$ của hai tam giác lớn:

(Điều phải chứng minh).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không giải thích tỉ số trung điểm: Khi viết $\frac{B'M'}{BM} = \frac{B'C'}{BC}$, học sinh thường quên nêu lý do $M, M'$ là trung điểm nên $B'M' = \frac{1}{2}B'C'$ và $BM = \frac{1}{2}BC$.

• Nhầm lẫn đỉnh tương ứng: Khi xét các tam giác nhỏ như $\Delta A'B'M'$, cần chú ý viết đúng thứ tự đỉnh tương ứng với $\Delta ABM$.

• Quên tính chất bắc cầu: Nhiều bạn chứng minh được từng cặp tỉ số nhưng không biết cách kết nối chúng lại thông qua tỉ số cạnh của hai tam giác lớn $\Delta A'B'C'$ và $\Delta ABC$.

Mẹo giải nhanh

Để ghi nhớ và làm nhanh các bài tập định tính này, bạn hãy nhớ Định lý mở rộng về tam giác đồng dạng:

Nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số của hai đường trung tuyến tương ứng, hai đường cao tương ứng, hai đường phân giác tương ứng và cả chu vi tương ứng đều bằng tỉ số đồng dạng.

Tính chất này cực kỳ hữu ích trong các bài thi trắc nghiệm, giúp bạn suy ra ngay kết quả mà không cần chứng minh lại từ đầu!