Bài 9.9 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức: Chứng minh hệ thức IB . IN = IC . IM

Bài 9.9 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Cho góc BAC và các điểm M, N lần lượt trên các đoạn thẳng AB, AC sao cho ∠ABN = ∠ACM

a) Chứng minh rằng ΔABN ∽ ΔACM.

b) Gọi I là giao điểm của BN và CM. Chứng minh rằng IB . IN = IC . IM.

Phân tích bài toán

• Câu a: Đây là dạng bài chứng minh đồng dạng cơ bản. Chúng ta cần tìm ít nhất 2 cặp góc bằng nhau. Ở đây, góc $A$ là góc chung và đề bài đã cho sẵn một cặp góc bằng nhau.

• Câu b: Để chứng minh hệ thức $IB \cdot IN = IC \cdot IM$, ta thường chuyển nó về dạng tỉ lệ thức $\frac{IB}{IC} = \frac{IM}{IN}$. Điều này gợi ý việc chứng minh hai tam giác chứa các cạnh này đồng dạng với nhau, cụ thể là $\Delta IBM$ và $\Delta ICN$.

Giải bài 9.9 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Ta có hình vẽ minh hoạ sau:

a) Chứng minh $\Delta ABN \backsim \Delta ACM$

Xét $\Delta ABN$ và $\Delta ACM$ có:

• $\widehat{A}$ là góc chung;

• $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$ (theo giả thiết).

Do đó, $\Delta ABN \backsim \Delta ACM$ (theo trường hợp góc – góc).

b) Chứng minh $IB \cdot IN = IC \cdot IM$

Từ kết quả $\Delta ABN \backsim \Delta ACM$ ở câu a, ta suy ra các góc tương ứng bằng nhau:

Mặt khác:

• $\widehat{ANB} + \widehat{CNI} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

• $\widehat{AMC} + \widehat{BMI} = 180^\circ$ (hai góc kề bù).

  Suy ra: $\widehat{CNI} = \widehat{BMI}$.

Xét $\Delta IBM$ và $\Delta ICN$ có:

• $\widehat{BMI} = \widehat{CNI}$ (chứng minh trên);

• $\widehat{IBM} = \widehat{ICN}$ (theo giả thiết $\widehat{ABN} = \widehat{ACM}$).

Do đó, $\Delta IBM \backsim \Delta ICN$ (góc – góc).

Từ tính chất tam giác đồng dạng, ta có tỉ số các cạnh tương ứng:

Nhân chéo hai vế, ta được hệ thức: $IB \cdot IN = IC \cdot IM$ (Đpcm).

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Nhầm lẫn các cặp góc kề bù: Khi chứng minh câu b, học sinh thường lúng túng trong việc tìm cặp góc thứ hai. Hãy nhớ sử dụng tính chất kề bù để chuyển đổi từ các góc của tam giác đồng dạng ở câu a sang các góc của tam giác cần xét ở câu b.

• Viết sai thứ tự đỉnh: Khi kết luận $\Delta IBM \backsim \Delta ICN$, nếu bạn viết $\Delta IBM \backsim \Delta INC$ sẽ dẫn đến tỉ số cạnh bị sai ($IB/IN = IM/IC$), từ đó không ra được hệ thức cần chứng minh.

• Quên ghi lý do: Trong hình học, mỗi khẳng định đều cần có căn cứ (giả thiết, chứng minh trên, kề bù...). Việc thiếu các ghi chú này sẽ làm bài giải thiếu chặt chẽ.

Mẹo giải nhanh

Để nhận biết nhanh tam giác nào cần chứng minh đồng dạng cho một hệ thức tích $AB \cdot CD = EF \cdot GH$:

1. Lập tỉ lệ thức: Chuyển tích về dạng $\frac{cạnh 1}{cạnh 2} = \frac{cạnh 3}{cạnh 4}$.

2. Ghép đỉnh: Nhìn theo hàng ngang hoặc hàng dọc của tỉ lệ thức để tìm tên tam giác.

   • Ví dụ: Từ $\frac{IB}{IC} = \frac{IM}{IN}$, nhìn hàng ngang ta có tam giác $IBM$ và $ICN$.

Phương pháp này giúp bạn luôn xác định đúng mục tiêu cần chứng minh mà không cần "đoán mò"!