Bài 9.10 SGK Toán 8 tập 2 Kết nối tri thức

Bài 9.10 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Có hai chiếc cột dựng thẳng đứng trên mặt đất với chiều cao lần lượt là 3 m và 2 m. Người ta nối hai sợi dây từ đỉnh cột này đến chân cột kia và hai sợi dây cắt nhau tại một điểm (H.9.25). Hãy tính độ cao h của điểm đó so với mặt đất.

Phân tích bài toán

Đây là một bài toán hình học ứng dụng điển hình. Để giải quyết, chúng ta thực hiện các bước tư duy sau:

• Mô hình hóa: Kí hiệu hai cột lần lượt là $AB = 3$ m và $CD = 2$ m. Hai cột cùng vuông góc với mặt đất $BC$.

• Xác định điểm: Giao điểm của hai sợi dây là $E$, độ cao cần tính là đoạn $EF = h$ (với $EF \perp BC$).

• Kiến thức áp dụng: Sử dụng tính chất các đường thẳng song song (cùng vuông góc với $BC$) để xác định các cặp tam giác đồng dạng, từ đó lập tỉ số cạnh tương ứng.

Giải bài 9.10 SGK Toán 8 Tập 2 Kết nối tri thức:

Kí hiệu các điểm như hình vẽ sau

Kí hiệu các điểm như hình vẽ dưới đây:

• Cột thứ nhất: $AB = 3$ m.

• Cột thứ hai: $CD = 2$ m.

• Giao điểm hai sợi dây là $E$, hạ $EF \perp BC$ tại $F$. Khi đó độ cao của giao điểm là $EF = h$.

Bước 1: Xác định các cặp tam giác đồng dạng

Vì $AB, EF, CD$ đều vuông góc với mặt đất $BC$ nên chúng đôi một song song với nhau: $AB \parallel EF \parallel CD$.

• Xét $\Delta ABC$ có $EF \parallel AB$, theo hệ quả định lý Thales ta có: $\Delta CEF \backsim \Delta CAB$.

  $$\Rightarrow \frac{EF}{AB} = \frac{CF}{CB} \quad (1)$$

• Xét $\Delta BCD$ có $EF \parallel CD$, theo hệ quả định lý Thales ta có: $\Delta BEF \backsim \Delta BDC$.

  $$\Rightarrow \frac{EF}{CD} = \frac{BF}{BC} \quad (2)$$

Bước 2: Thiết lập hệ thức tính $h$

Cộng vế với vế của (1) và (2), ta được:

Mà $CF + BF = BC$ nên:

Bước 3: Thay số và tính toán

Đặt $EF = h$, ta có phương trình:

Kết luận: Độ cao $h$ của giao điểm hai sợi dây so với mặt đất là 1,2 m.

Những lỗi học sinh hay mắc phải

• Không chứng minh song song: Học sinh thường quên nêu lý do tại sao các đoạn thẳng song song (cùng vuông góc với mặt đất) trước khi sử dụng tỉ số đồng dạng.

• Nhầm lẫn các đoạn thẳng trong tỉ số: Ví dụ viết $\frac{EF}{AB} = \frac{BF}{BC}$ thay vì $\frac{CF}{BC}$. Hãy nhớ trong tam giác đồng dạng, cạnh của tam giác nhỏ ứng với cạnh của tam giác lớn xuất phát từ đỉnh chung (đỉnh $C$ trong trường hợp $\Delta CEF \backsim \Delta CAB$).

• Sai sót khi cộng phân số: Việc tính toán $\frac{1}{3} + \frac{1}{2}$ đôi khi bị nhầm thành $\frac{2}{5}$ do cộng trực tiếp tử với tử, mẫu với mẫu.

Mẹo giải nhanh

Đối với dạng bài tập hai cột thẳng đứng và hai sợi dây bắt chéo như thế này, bạn có thể áp dụng công thức "tổng nghịch đảo" để tìm đáp án trắc nghiệm cực nhanh:

$$\frac{1}{h} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2}$$

Trong đó $h_1, h_2$ là chiều cao hai cột.

Áp dụng vào bài này: $\frac{1}{h} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \Rightarrow h = \frac{6}{5} = 1,2$ m.

Công thức này luôn đúng bất kể khoảng cách giữa hai chiếc cột là bao nhiêu!